Summenformel von Gauß für Schüler einfach erklären

Question

ich muss ein Konzept erstellen, wie man Schülern die Gaußsche Summenformel am besten erklären kann.

1+2+3+4+...+n = n^2/2+n/2

Mein Vorschlag wäre ein Beispiel:

0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

un dann zu sagen, dass 0+10 = 10, 1+9=10, 2+8=10, ... ist. Aber dann bleibt die 5 in der Mitte übrig. Das passt dann wieder nicht so gut.

Hat jemand eine Idee, wie man das stimmig machen kann oder vielleicht, wie man die Summenformel noch einfacher erklären kann?

Schönen Dank schon mal.

Hans

Answer 1

Aloha :)

Ich würde das graphisch machen. Male den Schülern doch Quadrate mit der Kantenlänge \(1\) auf. Das sieht dann etwa so aus (geht mit Plotlux leider nicht besser):

~plot~ 1*(x>=0)*(x<=6) ; 2*(x>=1)*(x<=6) ; 3*(x>=2)*(x<=6) ; 4*(x>=3)*(x<=6) ; 5*(x>=4)*(x<=6) ; 6*(x>=5)*(x<=6) ; x*(x>=0)*(x<=6) ; 6*(x>=0)*(x<=6) ; [[0|9|0|7]] ~plot~

Die Fläche des großen äußeren Qudrates ist \(n^2\). Jetzt zeichnest du die Gerade \(y=x\) ein und halbierst dadurch die Fläche zu \(\frac{n^2}{2}\). Oberhalb der Geraden bleiben \(n\) halbe Quadrate übrig, die noch zu der Fläche der kleinen Quadrate addiert werden müssen. Macht zusammen:

$$\text{Summe}=\underbrace{\frac{n^2}{2}}_{=\text{halbes großes Quadrat}}+\underbrace{\frac{n}{2}}_{=\text{überstehende halbe Quadrate}}$$