Wie kommt man auf die Summenformel für Quadratzahlen? 1^2 + 2^2 + 3^2 + … n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Question

Wie kommt man auf die Summenformel für Quadratzahlen?

\( 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6} \)

Verstehe nicht wie man auf diese Gleichung kommt. Ich weiß, dass es was mit der Summenformel zu tun hat aber nicht wie dies zu begründen ist.

Answer 1

Denk an das Turmbauen mit Klötzen.

1^2 ist ein Würfel.

2^2 eine Quadratscheibe mit Seitenlänge 2
3^2 eine Quadratscheibe mit Seitenlänge 3

n^2 eine Quadratscheibe mit Seitenlänge n

Nun hast du im Ganzen näherungsweise eine Pyramide.

V_n = 1/3 G*h= 1/3 n^2 * n = 1/3 n^3

Das ist aber nur eine Näherung.

Um die Formel genau zu haben, kannst du den Ansatz

V_n = an^3 + bn^2 + cn + d verwenden und 

bekommst dann

durch Einsetzen von V1 = 1 

V2= 5

V3= 14 usw. zu genügend Gleichungen, um a,b,c und d zu berechnen