Bestimmen Sie u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ maximal ist.

Question

Aufgabe:

Die Gerade x = u (u > 0) schneidet K im Punkt P und die Gerade g mit g(x) = 0,5x im Punkt Q. Der Ursprung O, die Punkte P und Q sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ maximal ist. Wir groß ist der Flächeninhalt?

Problem/Ansatz

Mein Ansatz:

A(U)= g*h/2

g = u

h = g(x)

A(U) = (u * 0,5u) / 2

= u^2/4

A'(U) = 2u/4

= U/2

U/2 = 0

Wo liegt mein Fehler

Comments

Was, bitte, ist K? Funktionsgleichung???

Answer 1

Sei \(k\) die Funktion, deren Graph \(K\) ist. Dann ist

        \(A(u) = \frac{1}{2}\cdot u \cdot (k(u) - g(u))\).

g = u

h = g(x)

Das sieht nach dem Dreieck aus den Punkten O, Q und (u|0) aus.

Comments

Habe nun leider wieder Probleme mit der Ableitung ...

Soweit kam ich:

Deine mit dem Kleinbuchstaben k versehene Funktion lautet: (0,5x-1,5)e^x

h ist demnach: ((0,5x-1,5)e^x-0,5x) oder mit u für x als Variable dann

((0,5u-1,5)e^u-0,5u)

Die vollständige Zielfunktion ist dann folglich:

(u * ((0,5x-1,5)e^x-0,5x))  / 2

Hier komme ich nicht weiter, wie leite ich das ab?!

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bzw. natürlich alle x durch u ersetzen

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h ist demnach: ((0,5x-1,5)ex-0,5x)

Das ist die Grundseite des Dreiecks.

Die Höhe des Dreiecks ist \(u\).

Diese Verwechslung hat aber keinen Einfluss auf die Zielfunktion.

Die vollständige Zielfunktion ist dann folglich:

(u * ((0,5x-1,5)e^x-0,5x))  / 2

Auch hier u statt x verwenden:

\(A(u) = \frac{u\cdot\left((0,5u-1,5)e^u-0{,}5u\right) }{2}\)

Vereinfachen:

\(A(u) = \frac{1}{2}\cdot\left((0,5u^2-1,5u)e^u-0{,}5u^2\right) \)

Das ist ein Produkt aus dem konstanten Faktor \(\frac{1}{2}\) und dem Faktor \((0,5u^2-1,5u)e^u-0{,}5u^2\). Also wird mit der Faktorregel abgeleitet:

1. \((0,5u^2-1,5u)e^u-0{,}5u^2\) ableiten,
2. Ergebnis mit dem konstanten Faktor multiplizieren.
   

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Oh, natürlich, die Höhe ist selbstverständlich u.

Habe anscheinend irgend einen Denkfehler beim Ableiten mit der Faktorregel, kannst du mir die Ableitung bitte vorrechenen? Danke schonmal

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Ich glaube nicht, dass die Anwendung der Faktorregel das Problem ist. Ich glaube eher, dass du \((0,5u^2-1,5u)e^u-0{,}5u^2\) nicht korrekt abgeleitet hast. Wie hast du das abgeleitet?

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Habe den vorderen Teil also bis mit eingeschlossen den Teil mit e mit der Produktregel abgeleitet und die -0,5u^2 dann zu -u

Komme da dann insgesamt (bereits zusammengefasst) raus bei:

(-0,5u + 0,5u^2 -1,5)e^2 - u

Ist das korrekt? Wenn ja, was nun?

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(-0,5u + 0,5u² -1,5)e² - u

Das ist richtig so. Laut Faktorregel wird das ganze jetzt mit \(\frac{1}{2}\) multipliziert.

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Ja, komme nur leider jetzt nicht drauf, wie ich das nach u auflöse, um die möglichen Extrempunkte zu erhalten. Hab wirklich schon viel probiert, kannst du mir bitte verraten, wie ich das jetzt bewerkstellige?

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Die Gleichung löst man mit dem Taschenrechner.