Warum hat (x^2+4) keine Nullstelle?

Question

Aufgabe:

f(x) = 5(x-3)(x^2+4)

Problem/Ansatz:

Die Nullstelle dieser Funkton ist ja nur 3. Wieso? Müssten es nicht auch die Nullstellen 2 und -2 sein?

Und was wäre, wenn die Aufgabe so aus sehen würde: f(x) = 5(x-3)(x^4+4)?

Bei f(x) = 5(x-3)(x+4)^4 wären die Nullstellen 3 und -4. 3 ist eine einfache Nullstelle, aber wie viel fach ist dann -4?

Viele Fragen dieses Mal. Bin dankbar um jede Hilfe :)

Answer 1

Angenommen, x²+4=0, Dann ist x=±\( \sqrt{-4} \) und das sind keine reellen Zahlen.

Comments

(x^2-4) wäre dann also eine Nullstelle bzw. zwei?

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(x²- 4) kann ein Faktor sein, aus dem man dann die Nullstellen x=2 und x=-2 berechnet.

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Also kann man sagen, hier kommt es auf das Vorzeichen an?

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Es kommt auf das Zeichen zwischen x² und 4 an.

Answer 2

Hallo,

f(x) = 5(x-3)(x^2+4)

Betrachte jeden Faktor für sich:

x - 3 = 0 ⇒ x = 3

x^2 + 4 = 0 ⇒ x^2 = - 4

Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden.

f(x) = 5(x-3)(x^4+4)

Hier gilt das gleiche wie oben. Anders wäre es bei 5(x-3)(x^3+4).

Bei f(x) = 5(x-3)(x+4)⁴

Bei x = -4 ist eine vierfache Nullstelle

Gruß, Silvia

Comments

Das macht Sinn, dankschön :)

Answer 3

( x^2 + 4 )
x^2 ist immer positiv ( als Quadrat und hoch 4 )
positiv plus positiv ( 4 ) ist immer postiv.

Answer 4

f(x) = 5(x-3)(x^2+4)=5x^3+20x-15x^2-60

Allgemein bemisst sich die Anzahl der Nullstellen nach dem Wert des höchsten Exponenten , hier also 3.

In ℝ gibt es aber nur x=3 als Nullstelle.

Comments

Aber nur weil drei der höchste Exponent ist, heißt es nicht, dass es drei Nullstellen geben muss, richtig? Es könnte auch nur eine sein, wie hier.

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5(x-3)(x^2+4)=0

(x-3)(x^2+4)=0

x₁=3  Lösung in ℝ

x^2+4=0

x^2=-4

x^2 = 4i^2 |\( \sqrt{} \)

x₂=2i  Lösung in ℂ

x₃=-2i  Lösung in ℂ