Epsilon Delta Beweis Stetigkeit

Question

Hi, ich will einen Stetigkeitsbeweis führen mit dem Epsilon-Delta-Kriterium. Habe eine Funktion mit gespaltener Definition gegeben. Meine Frage: muss ich den Beweis 2x im Punkt x0 führen für jeweils die beiden "Funktionsteile"? oder reicht einer und wenn ja welcher der beiden?

Answer 1

Beispiel. Zeige dass die Funktion

        $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\begin {cases}x^2&x<-2\\2x+8&x\geq -2\end{cases}$

auf ganz $\mathbb{R}$ stetig ist.

Lösung. Für $x < -2$ ist $f$ stetig, weil quadratische Funktionen stetig sind.

Für $x > -2$ ist $f$ stetig, weil lineare Funktionen stetig sind.

Für $x = -2$ ist $f$ stetig, weil linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmen, d.h. es ist

        $\lim\limits_{x\nearrow -2}f(x) = (-2)^2 = 4$

und

  $\lim\limits_{x\searrow -2}f(x) = 2\cdot (-2)+8 = 4$

und

  $f(-2) = 2\cdot (-2)+8 = 4$.