Lösungen der komplexen quadratischen Gleichung: z² - (5+ 2*j) * z + 14 + 8*j = 0

Question

ich soll die Gleichung z² - (5+ 2*j) * z + 14 + 8*j = 0 lösen.

Dabei habe ich p = -(5 + 2*j) gewählt und q = (+14 +8*j)

Als Lösung über die pq-Formel  habe ich raus

z1/2 = (2.5 + j) +- (-1.43 + 2.68*j)

Habe ich p und q richtig gewählt?

Comments

p und q hast du schon richtig. Aber fehlt dann nicht noch die Wurzel?

Kommst du damit als Kontrolle klar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+z²+-+%285%2B+2*i%29+*+z+%2B+14+%2B+8*i+%3D+0+
?

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Ich habe die Wurzel vor diesem Schritt gezogen

Mein Schritt davor lautet

z1/2 =  (2.5 + 1j)    +-     (   9.25 * e^{j*4,12}  )^{1/2}

 

Oder is das falsch? Als Lösung sollte doch eine komplexe Zahl rauskommen

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2+4i und 3-2i sollte rauskommen (vgl. Link).

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Ja stimmt, hab ich auch gesehen. Stimmt wenigstens der linke Teil meiner Lösung?

-(P/2) ist doch  -((-5-2j)/2) und da krieg ich 2.5 + j raus

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Ja, das stimmt.

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Ich starte einen neuen Versuch in der eulerschen Form

Answer 1

 z² - (5+ 2*j) * z + 14 + 8*j = 0

z = 1/2( (5+2i) ±√((5+2i)^2 - 4(14+8i)))

Zwischenrechnung

√((5+2i)^2 - 4(14+8i))

=√(25 + 20i -4 -56 -32i)

=√(-35 -12i)

Und jetzt vielleicht die Polarkoordinaten einsetzen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=√%28-35+-12i%29

(1-6i)

Aha: 

Man könnte ja 'quadratisch ergänzen'

√-(35 +12i) = √-(36 + 12i + i^2) = √-(6+i)^2

= i(6+i) = 6i-1 und kommt jetzt auf die neg. Lösung von dem, was WolframAlpha angibt.

Das liegt daran, dass die Wurzel in C gar nicht eindeutig definierbar ist.

Da wir aber ±√ rechnen müssen, kommt's nicht drauf an.

Fortsetzung meiner Rechnung:

z = 1/2( (5+2i) ±√((5+2i)^2 - 4(14+8i)))

= 1/2 (5+2i ± (6i-1))

z1 =  1/2 (5+2i + (6i-1)) = 1/2 ( 4 + 8i) = 2+4i

z2=  1/2 (5+2i - (6i-1)) = 1/2 (6 - 4i) = 3-2i

Comments

Warum - 4(14+8i) in der Wurzel ?

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Ich rechne lieber mit der abc-Formel (vermeide so Brüche).

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Als Ergebnis der Wurzel nachdem +- muss also 0.5 + 3*j rauskommen?

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(-0.5 + 3i) weil du 1/2 schon reinmultipliziert hast.

entspricht meinem -1 + 6i.

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Wenn ich (-2.5 - 1*j )² ausmultipliziere, erhalte ich 5.25 - 5j (nach der zweiten binomischen Formel)

Ist dies korrekt?

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(-2.5 - 1*j )² = (2.5 + i)^2 = 6.25 + 5i -1 = 5.25 + 5i

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Ach darf ich das Vorzeichen von a einfach abschneiden?

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(-1) ausklammern und dann quadrieren. So bleibt nur noch ein Faktor 1.

(-2.5 - 1*j )² =(-1)^2* (2.5 + i)² =  (2.5 + i)² = 6.25 + 5i -1 = 5.25 + 5i

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Ich habe gerade nochmal die Wurzel nachgerechnet. Es lag nur an diesem einen verflixten Vorzeichen bei 5, dass ich so krummen Ergebnisse raus hatte. Jetzt erhalte ich die gleichen Ergebnisse wie bei WolframAlpha.

Ergebnis der Wurzel: Ungefähr 3,04 * e^{j* 1, 735} !

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Super! Dachte mir, es sei etwas viel verlangt, dass man unter der Wurzel die quadratische Ergänzung einfach sehen müsste.

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Wir rechnen übrigens unter der Wurzel immer mit der eulerschen Form, weil man damit am besten die Wurzel ziehen kann. Bezogen auf dein "Und jetzt vielleicht die Polarkoordinaten einsetzen."


Komischerweise machen wir kaum was in der Polarform, nur noch eulersche Form

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Für mich ist eulersche Form um Polarkoordinaten dasselbe. Darstellung mit e^ braucht halt fast immer den Taschenrechner.
Warum benutzt ihr eigentlich j statt i?

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Das wurde so in der Vorlesung eingeführt und wird jetzt so durchgezogen. Ich finds lustig, dass die einen mit i und die anderen mit j "auferzogen" werden :)