Zeigen Sie, dass f in (0,0) nicht stetig ist.

Question

Hallo, und zwar habe ich folgende Funktion gegeben:   2xe^{−1/y^2}/(x²+e^{−2/y^2}) für y= 0

                                                                                  sonst 0 für y=0

Ich soll zeigen: a.) Zeigen Sie, dass f in allen Punkten (x,y)∈R² mit y≠0 stetig differenzierbar ist.

                     b.) Zeigen Sie, dass f in (0,0) partiell differenzierbar ist und bestimmen Sie die partiellen Ableitungen dort.

              und c.) Zeigen Sie, dass f in (0,0) nicht stetig ist.

Leider komme ich mit der Aufgabe überhaupt nicht klar und würde mich über Hilfe sehr bedanken.

LG Leon

Answer 1

Hallöchen :)

Aufgabe a) partiell diffbar bedeutet, deine partiellen Ableitungen existieren und sind stetig. Also das heißt: Berechne deine partiellen Ableitungen dieser Funktion und schau, ob sie stetig sind.

Aufgabe b) Dazu wendest du am besten die Definition deiner partiellen Ableitung an: lim t->0 (F(t,0) -F(0,0)/ t und limt t->0 (F(0,t) -F(0,0))/t und schaust ob die beiden partiellen Ableitungen existieren.

Aufgabe c) Dort bietet es sich an zwei Folge zu konstruieren, die gegen 0 konvergieren, aber nicht den gleichen GW besitzen, wenn du sie in deine Funktion einsetzt

Liebe Grüße

Comments

Ok, also die Partiellen Ableitungen habe ich jetzt raus. Sehen sehr kompliziert aus, sind aber laut Rechner richtig. Nur die Frage: wie zeige ich, dass die partielle Ableitung dann stetig ist?

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Naja also bei uns hat es gereicht damit zu argumentieren, dass deine partiellen Ableitungen Verkettungen von stetigen Funktionen sind und damit selbst auch wieder stetig sind. Ich geh davon aus, dass das auch bei euch reicht, ansonsten hast du die Möglichkeit über epsilon-delta-Krit., aber das wäre wahrscheinlich ein zu großer Aufwand

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ok danke. und bei c.) habe ich mir die Folgen überlegt. (x_n,y_n)=(1/n,(ln n)^−1/2) für n≥2.

Konvergieren beide gegen 0. Nur wie setze ich die jetzt ein. Könntest du mir das mal zeigen?

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Text erkannt:

Die Umformungsschritte kannst du dir ja noch selbst überlegen :)

So jetzt nimm eine andere Folge z.B. (1/n, 1/n) und zeig, dass diese beim EInsetzen in deine Funktion gegen 0 konvergiert