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Sei φ=\( \frac{√5+1}{2} \). Der Kreis mit der Gleichung x2+y2=4 schneidet die Parabel mit der Gleichung f(x)=ax2+b in P(xp|\( \frac{1}{φ} \)) und Q(xQ|-φ). Wie groß sind a und b?

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Könnte a=1 und b=-3 hinkommen?

Ja, aber warum schreibst du keine Antwort?

1 Antwort

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Für die Parameter \( a \) und \( b \) benötigen wir zwei Bestimmungsgleichungen. Diese erhält man aus dem Wissen des Schnittpunktes. Am Schnittpunkt gilt:

\( y = f(x_P) = \frac{1}{\varphi} \text{ bzw. } y = f(x_Q) = -\varphi \)

mit diesem Wissen können wir \( x \) in der zweiten Gleichung eliminieren.

\( x_P^2  + \frac{1}{\varphi^2}= 4 \Leftrightarrow x_P^2 = 4- \frac{1}{\varphi^2}\)

\( \Rightarrow f(x_P) = \frac{1}{\varphi} =a \cdot \left(4- \frac{1}{\varphi^2} \right)  + b \quad (1) \)

\(x_Q^2 + \varphi^2 = 4 \Leftrightarrow x_Q^2 = 4 - \varphi^2 \)

\( \Rightarrow f(x_Q) = -\varphi = a \cdot \left( 4 - \varphi^2 \right) + b \quad (2) \)

Gleichungen \((1)\) und \((2)\) bilden ein lineares Gleichungssystem für \(a\) und \(b\). Dies kann man zum Beispiel durch Gleichsetzen lösen.

\( \qquad \frac{1}{\varphi} - a \cdot \left(4- \frac{1}{\varphi^2} \right) =  -\varphi - a \cdot \left( 4 - \varphi^2 \right) \)

\( \Leftrightarrow \text{  } \frac{1}{\varphi} + \varphi = a \left( \varphi^2 - \frac{1}{\varphi^2} \right) \)

\( \Leftrightarrow \text{  } a =\frac{\varphi}{\varphi^2 - \varphi} = \varphi\)

Einsetzen von \( a \) in \( (2) \) liefert den Wert für \(b\)

\( \quad -\varphi = \varphi (4 - \varphi^2) + b\)

\( \Leftrightarrow \text{  } b = \varphi(\varphi^2 - 5) = - (\varphi + \sqrt{5})\)

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Meinen Berechnungen zufolge hast du die Gleichung

\(\large\frac1\varphi+\varphi=a\left(\varphi^2-\frac1{\varphi^2}\right)\)

falsch nach \(a\) aufgelöst:
\(\large\frac1\varphi+\varphi=a\left(\varphi+\frac1\varphi\right)\cdot\left(\varphi-\tfrac1\varphi\right)\iff\boxed{a=1}\)
und damit nach (2)
\(\large -\varphi=4-\varphi^2+b\iff\boxed{b=-3}\)

Oh ja, stimmt!

Das muss \( a = \frac{\varphi}{\varphi^2 - 1} = 1 \) im letzten Schritt für \( a\) heißen.

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