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Hallo zusammen :)

wir haben vor den Ferien ein neues Thema begonnen. Leider hat die Zeit nicht mehr ausgereicht um über das neue Thema zu sprechen, daher haben wir ein Arbeitsblatt bekommen, welches wir über die Ferien bearbeiten sollen.

Leider kann ich mit den Textaufgaben sowas von 0 Anfangen. Wir hatten davor die ganze Zeit Integralrechnung gehabt mit zw. zwei Funktionen, zwischen x-Achse und Graph... halt allg. Integralrechnung und jetzt Rauminhalte von Rotationskörpern.

Wenn jemand Zeit und Lust hat, kann mir jemand erklären wie ich bei den einzelnen Teilaufgaben vorzugehen habe und wie ich das ausrechne? Weil ich hab leider kein Plan wie ich da jetzt am besten Anfange... Das wäre eine sehr große Hilfe, da wir auch bald die Prüfung schreiben und ich so schnell wie Möglich die Themen lernen möchte


AB_Einführung Rotation 2_Seite_1.png

Text erkannt:

Wie viel Bier passt in eine Blumenvase
Auf einer Feier sind plötzlich zusätzliche Gäste aufgetaucht, welche gerne Bier trinken möchten. Da keine Gläser mehr verfügbar sind, entscheiden sich die Gäste kurzerhand, eine Blumenvase als Trinkgefäß zu verwenden.
Um nun der wichtigen Frage nachzugehen, wie viel man in eine Blumenvase füllen kann, untersuchen zunächst den Querschnitt der Blumenvase.
Die Blumenvase besitzt an ihrer oberen Öffnung einen Durchmesser von \( 10 \mathrm{~cm} \). An ihrer Unterseite beträgt der Durchmesser \( 6 \mathrm{~cm} \). Die Höhe der Blumenvase, gemessen von der Innenseite, beträgt \( 20 \mathrm{~cm} \).
Versuchen Sie zunächst die nachfolgenden Aufgabenpunkte in Einzelarbeit zu lösen. Vergleichen Sie anschließend Ihre Lösungen mit ihrem zugewiesenen Partner. Erklären Sie sich gegenseitig Ihren Lösungsweg.
a) Schätzen Sie zunächst, wie viel Bier in die angegebene Blumenvase passt.
b) Den Querschnitt der Vase kann man auf zwei Arten in ein Koordinatensystem legen. Entscheiden Sie sich für die Art und Weise, bei der durch die Rotation um die \( x \) -Achse, die Blumenvase entsteht.
c) Bestimmen Sie einen Funktionsterm \( f_{(x)}, \) sodass Sie die Blumenvase mithilfe des Graphen von \( f_{(x)} \), durch Rotation um die \( x \) -Achse erzeugen können. Hinweis: Die Funktion kann näherungsweise durch eine quadratische Funktion mit der Grundform \( f_{(x)}=a x^{2}+c \) abgebildet werden.
d) Skizzieren Sie zunächst den Graphen der in Teilaufgabe c) ermittelten Funktion \( \mathrm{f} \) in das Koordinatensystem auf der Rückseite. Zeichnen Sie dann fünf Rechtecke einer Untersumme bzw. einer Obersumme in die Skizze ein. Dafür übernimmt einer von Ihnen (Sie oder Ihr Partner) jeweils die Ober-oder Untersumme. Der Abstand \( \Delta x \) soll dabei immer gleichgroß sein. Welche Körper entstehen, wenn diese um die \( x \) -Achse rotieren? Ermitteln Sie hieraus, je nachdem ob Sie die Ober- bzw. Untersumme gezeichnet haben, näherungsweise den Rauminhalt der Vase. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit Ihrem Partner. Welche Aussage können Sie treffen.
e) Begründen Sie, dass an jeder Stelle \( \mathrm{x} \) der Inhalt der Querschnittsfläche des Rotationskörpers \( A_{(x)}=\pi \cdot\left(f_{x}\right)^{2} \) ist. Begründen Sie damit für den Inhalt \( V \) des aus der Parabel entstehenden Rotationskörpers die Formel: \( V=\int \limits_{0}^{20} \pi \cdot\left(f_{x}\right)^{2} d x \)
Berechnen Sie mit Hilfe der Formel, wie viel Bier in die Blumenvase passt.

von

Als lösung habe ich jetzt

V = Integral von 0 bis 200 pi• (1/200x²+3x)² = 150078,37 VE raus, ist das korrekt? o.ô und wie rechne ich das jetzt in Liter um?

Fehlerhinweis
Die obere Integrationsgrenze ist 20

V = 867.1 cm^3
1 Liter = 1000 cm^3
0.8671 Liter

gm-161.JPG

Ich habe als Obersumme die 20 genommen und als Untersumme die 0. Ich habe jedoch das Integral mit der Stammfunktion 1/600x³+3x gerechnet und nicht mit der Ursprungsfunktion. Wenn ich mit der Ursprungsfunktion rechne, komm ich auch auf 867 VE, aber warum plötzlich Integral mit Ursprungsfunktion berechnen und nicht mit der Stammfunktion?

In unseren vorherigen Aufgaben in der Schule haben wir immer die Werte der Ober- und Untersumme in die Stammfunktion (F(x)) eingesetzt.... Das verstehe ich gerade nicht.

Der Funktionswert f an einer Stelle entspricht
dem Radius r einer Scheibe ( vertikaler
Schnitt ) an dieser Stelle
r = 1/200 * x^2 + 3
Die Fläche A ist
A = r^2 * pi = ( 1/200 * x^2 + 3 ) ^2 * pi.
Das Volumen ist die Aufsummierung
( Nebeneinanderlegung aller Scheiben ).
Mit der Integralrechnung berechnet
- Stammfunktion bilden.
- Stammfunktion zwischen 0 und 20 berechnen
ergibt 867.

Hey georborn,

ich habe wie Du gesagt hast die Stammfunktion von ( 1/200 * x2 + 3 ) gebildet.

Vorher natürlich Quadriert (Grüner Punkt) und vom Grünen Punkt die Stammfunktion gemacht (Roter Punkt), wenn ich aber jetzt die Stammfunktion zwischen 0 und 20 berechne, komm ich trotzdem nicht auf 867 VE > Was habe ich den jetzt wieder falsch gemacht? :( sorry wenn ich so viele Fragen stellen, aber egal wie ich es drehe, ich komme auf 867 nur wenn ich mit der Ursprungsfunktion rechne oder mit der QUadrierten Ursprungsfunktion

blob.png

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{1}{40000} x^{4}+\frac{3}{100} x^{2}+9 \)
\( g(x)=\operatorname{Integral}(f) \)
\( \rightarrow \frac{1}{200000} x^{5}+\frac{1}{100} x^{3}+9 x \)
\( +\quad \) Eingabe..

Deine Formeln hinter dem grünen und dem roten Punkt sind richtig.

Deinen Kommentar

"egal wie ich es drehe, ich komme auf 867 nur wenn ich mit der Ursprungsfunktion rechne oder mit der QUadrierten Ursprungsfunktion"

verstehe ich nicht.

Naja, ich hab ja nun die Stammfunktion (roter Punkt), wenn ich diese nun die die Formel für Rotationskörper einsetze, komm ich nicht auf 867 ->

blob.png

Auch

"wenn ich diese nun die die Formel für Rotationskörper einsetze, komm ich nicht auf 867 ->"

verstehe ich nicht.

Du musst doch die Grenzen in die Formel hinter dem roten Punkt einsetzen und mit π multiplizieren.

Naja wir dürfen in der Prüfung und in den Klausuren den Taschenrechner nutzen und da rechne ich direkt das Integral aus.

Im Taschenrechner sag ich dann Integral von 0 bis 20 und geb die Stammfunktion ein. Dann kommt er aber auf die im Bild gezeigten Ergebnisse.

Wenn ich per Hand rechne und die 20 einsetze, zusammenaddiere komm ich auf 276 und dann mal Pi ergibt 867 VE also das gleiche Ergebnis wie bei Dir.

...aber mich würde es trotzdem interessieren, wo ich den Fehler im Taschenrechner gemacht habe. Den Egal wie ich die Formel eingebe, ich komme nie auf 276 oder 876 mit dem Taschenrechner. Nur wenn ich die Urfunktion nehme, also 1/200x²+3

Hallo Hippo,
ich denke du hast du hast das Wesentliche eines
Rotationskörpfers noch nicht begriffen. Macht
aber nichts. Das kriegen wird schon hin.

Gehen wir schrittweise vor.

f = 1/200 * x^2 + 3

gm-162.JPG

Die Fläche unterhalb der Kurve kann ich mit
Ober-und Untersumme oder Integralrechnung bestimmen

∫ f(x) dx zwischen 0 und 20
∫ ( 1/200 * x^2 + 3 ) dx
[ 1/200 * x^3 / 3 + 3x ] zwischen 0 und 20

A = 220 / 3

Noch haben wir nichts rotieren lassen.

Was passiert wenn die Kurve um die x-Achse rotiert )
Welche Figur entsteht ?

mfg

Hey georgborn :)

vielen Lieben dank für deine Mühe :)

nach langem Rechnen bin ich dann endlich auf das Ergebnis von 876 VE gekommen also knapp 1 Liter Bier passt in die Vase.

Die Zeichnung habe ich genau so wie Du. Diese Rotiert um die x-Achse und bildet dann somit diese Vase ab -> gecheckt :)

Wenn Du nur die Fläche unterhalb der Kurve bekomen möchtest, warum hast Du dann die Urfunktion ( 1/200 * x2 + 3 )dx in diese hier [ 1/200 * x3 / 3 + 3x ] umgestellt?

Ich komme aber mit ( 1/200 * x2 + 3 )dx ebenfalls auf 73.3 also 220/3

Wenn Du nur die Fläche unterhalb der Kurve bekomen möchtest, warum hast Du dann die Urfunktion ( 1/200 * x2 + 3 )dx in diese hier [ 1/200 * x3 / 3 + 3x ] umgestellt ?

Die 2.Funktion ist die Stammfunktion der
1.Funktion

Ausführlich
1/200 * x^2 + 3
Stammfunktion
1/200 * x^3 / 3 + 3x
Integralfunktion zwischen 0 und 20
1/200 * (20)^3 / 3 + 3*20 minus
1/200 * (0)^3 / 3 + 3 *0

40 / 3 + 180/3 = 220 / 3

Ahhhh! Ich glaub ich weiß auch wo mein Problem ist. In den Darstellungsformen. Wenn ich mir das so auf das Blatt aufschreibe und in einer anderen Schreibweise darstelle wird mir vieles viel Klarer. Da hat aber jeder so seine eigene Schreibweise, daher war das etwas verwirrend.

Danke für die Erklärung :)

Gern geschehen.

2 Antworten

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Beste Antwort

c) Setze P(0|3) und Q(20|5) in der Ansatz f(x)=ax2+b ein. Dann erhältst du ein System von zwei Gleichungen mit den Unbekannten a und b sowie den Lösungen b=3 und a=1/200. Also f(x)= 1/200·x2+3:

blob.png

Bei Rotation um die x-Achse entsteht eine liegende Blumenvase:

blob.png

Das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation von f(x) um die x-Achse entsteht, berechnet sich als

π·\( \int\limits_{r}^{s} \)[f(x)]2.          

von 99 k 🚀

Hey Roland, Danke für deine fixe Antwort! aber wie kammst du auf 1/200x² ?

Ich habe die Punkte in die Gleichung von f(x) = ax²+c eingesetzt, weil die auf dem Arbeitsblatt gegeben ist und kam dann auf a = 2/409 raus.

Ich habe die SPs eingesetzt

3 = a•3²+3

5 = a•20²+3

und dann mit dem Additionsverfahren berechnet.

Mein Taschenrechner sagt aber auch was anderes

a = 2/391

Ich beziehe mich immer auf die Formeln die mir gegeben werden. Ich hoffe Du kannst mir hier nochmal helfen

Du hast (3|3) und nicht (0|3) eingesetzt.

Oh man bin ich blöd. Hast recht entschuldige... komme jetzt auch auf diese Funktionsgleichung danke :) ich probier dann mal weiter, vielen Dank für die Hilfe.

bei a) hab ich übrigens mit einen Kegel gerechnet um so zu schätzen. Kam auf 0,565 Liter, würdest Du mir da zustimmen?


bei b) hätte ich jetzt einfach gesagt "Rotation um die x-Achse" aber ich wüsste nicht was ich da berechnen sollte???

Ich habe die Gleichung nun in deine Formel eingesetzt
π·\( \int\limits_{r}^{s} \)[f(x)]2.

V = Integral von 0 bis 20 pi• (1/200x²+3x)² = 150078,37 VE raus, was aber sehr sehr viel klingt... Und ich habe ja nur die Hälfte ausgerechnet. Ich müsste hier ja eig. nochmal x2 nehmen oder?

Du brauchst nichts zu verdoppeln. Ich komme auf 867 VE. Wie sieht denn deine Stammfunktion aus?

Frohe Ostern Silvia :)

Danke für deine Antwort.


Berechnet man aber nicht nur die Hälfte der Vase? weil wir ja nur von 0 bis 3cm auf der Y-Achse gehen.

Meine Stammfunktion aus f(x) = (1/200x²+3x) sieht so aus F(x) = 1/600x³+3x

Frohe Ostern euch für Dich, Hippo!

Das Integral sieht so aus:

blob.png

Wenn dieses Fläche um die x-Achse rotiert, erhältst du das Volumen der ganzen Vase:






blob.png

Du berechnest erst \((\frac{1}{200}x^2+3)^2\) und bestimmst davon die Stammfunktion.

WoW, krass sogar mit Zeichnung, dass hätt ich jetzt nicht erwartet, vielen Dank für deine Mühe!! :) jetzt hab ich das mit der Rotation um die x-Achse auch endlich kapiert haha :D also auf die obere Zeichnung bin ich auch gekommen, aber das mit der Rotation war mir nicht klar. Danke vielmals für die Mühe! :)

Du berechnest erst \((\frac{1}{200}x^2+3)^2\) und bestimmst davon die Stammfunktion.

Ach so, ich habe die Stammfunktion von der Quadrierten Ursprungsfunktion gebildet und kamm dabei auf:

blob.png

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{1}{40000} x^{4}+\frac{3}{100} x^{2}+9 \)
\( g(x)=\ln \operatorname{tegral}(f) \)
\( \rightarrow \frac{1}{200000} x^{5}+\frac{1}{100} x^{3}+9 x \)

Grün = Quadrierte Ursprungsfunktion

Rot = Stammfunktion der quadrierten Ursprungsfunktion (1/200x²+3)

Aber mit der Stammfunktion komme ich leider trotzdem nocht auf die 867 VE hmm

Sollte dein Ergebnis 276 VE lauten, bist du auf dem richtigen Weg. Du musst das Ganze nur noch mit pi multiplizieren.

Nicht so ganz... ich komme auf folgende Werte laut Taschenrechner:

blob.png

Bei mir sieht das so aus

\(\frac{1}{200000}\cdot 20^5+\frac{1}{100}\cdot 20^3+9\cdot 20=\\ 16+80+180 =276\)

Und dann noch pi mal 276

Oh so habe ich das erst gar nicht versucht, da wir mit dem Taschenrechner das Integral ausrechnen dürfen. Aber der Taschenrechner rechnet dann wohl irgendein Murks aus... ohne Pi und ohne hoch 2 komm ich hier auf 2253....

Also bei Rotationskörpern am besten per Hand rechnen... aber mich würde es trotzdem interessieren, wo ich den Fehler im Taschenrechner gemacht habe.

blob.png

Du brauchst hier nichts mehr zu quadrieren, das hast du ja schon vorher gemacht und aus diesem f^2 die Stammfunktion gebildet.

Also gib mal nur das Integral von 0 bis 20 mit den Angaben, die in der Klammer stehen, in deinen TR ein. Dann solltest du auch 276 herausbekommen.

blob.png

Text erkannt:

CASID
B1DEX cLAS5WIZ
$$ \frac{1}{200000} x^{5}+\frac{1}{100} x^{3} $$
\( 33333= \)

blob.png

Text erkannt:

eAsio
9\Theta1DEX
$$ \frac{1}{10} x^{5}+\frac{1}{100} x^{3}+9 x d x $$


Leider macht mein Taschenrechner da echt faxen...

Du gibst in den Taschenrechner nicht die Stammfunktion, sondern f(x) ein.

Ja bei der Urfunktion komm ich auf 867

Aber warum ist das so? Das versteh ich halt eben nicht :(

Was sagt den genau die Stammfunktion aus?

Und ist es Generell so, dass man die Urfunktion bei Integralrechnungen (also auch bezogen auf Flächen zwischen zwei Funktionen oder Zwischen Graph und x-Achse) in den Taschenrechner eingeben muss?

Ich hatte es mal so, mal so gemacht... daher bin ich mir gerade echt unsicher.

Ich sag mal so:

Die Stammfunktion brauchst du, wenn das die Aufgabenstellung vorgibt, aber wenn du zum Ausrechnen den Taschenrechner benutzen darfst, gibst du darin die Urfunktion ein.

Vielen vielen lieben Dank für die ganzen Information Silvia! ich werde mal meine alten Integralrechnungen so berechnen und überprüfen :) Die Stammfunktion müssen wir halt immer Bilden, weil es darauf Punkte gibt.

Danke nochmal für deine Mühe! :)

Dann sammle die Punkte, aber gib die richtige Funktion in den TR ein ;-) Viel Erfolg!

0 Daumen

Du hast bereits f(x)=1/200*x^2+3.

Nun musst du V berechnen:

\( \displaystyle V=\int \limits_{0}^{20} \pi \cdot\left(\dfrac{1}{200}x^2+3\right)^{2} d x\\=\int \limits_{0}^{20} \pi\left(\frac{1}{40000}x^4+\frac{3}{100}x^2+9\right)dx\\=...\\ \approx 867\)

867cm^3=0,867dm^3=0,867Liter

Zur Schätzung:

Ich rechne mit einem Zylinder, der den Radius 4cm und die Höhe 20cm hat. Für pi nehme ich 3.

pi *r^2 *h = 3 *4^2*20=3*16*20=48*20=960

Also ca. 0,96 Liter.

:-)

von 23 k

Hallo MontyPython,

Ahh ich hatte mit x³ und 3x gerechnet. Mein Fehler lag an dem x²

ABER warum hast Du nur mit +3 gerechnet und nicht mit 3x ?? Weil man muss ja die 1. Ableitung "rückwärs" Bilden bei der Stammfunktion.

Ich habe immer mit der Stammfunktion gerechnet. Warum muss man hier nicht mit der Stammfunktion rechnen, so wie wir es bisher immer gemacht haben bei der Fläche zw. zwei Funktionen oder FLäche zw. Graph und x-Achse?

Ich gebe dann die Stammfunktion-Integralrechnung direkt in den Taschenrechner ein.


Wo liegt den also der Unterschied, wenn ich mit meinem Casio fx-991de X Classwiz das Integral mit der Urpsrungsfunktions bzw. mit der Stammfunktion berechne? Es komen dann ja zwei Unterschiedliche Ergebnisse raus.


Aber vielen Dank für deine fixe Rückmeldung! :)

PS: Bei der Schätzung habe ich auch ein Zylinder genommen, aber habe die kleine Seite von 3cm als Radios genommen und kam damit auf ca. 0.57 Liter :o jetzt liegt es am Lehrer ob er das noch akzeptiert oder nicht, aber deines ist natürlich näher :D warum hast du ausgerechnet die 4 genommen? hast du die differenz zwischen 6 und 10 irgendwie genommen?

Hallo Hippo,

erst einmal "Frohe Ostern". :-)

Bevor du die Stammfunktion bildest, musst du die Funktion f(x) doch erst quadrieren.

Den Radius 4 habe ich als Mittelwert von 3 und 5 genommen. Bei den Durchmessern wäre es der Mittelwert von 6 und 10, also 8 bzw. Radius 4.

:-)

Oh ja sorry, wie man die Zeit vergisst!

Frohe Ostern erst einmal! :)

Danke nochmal für deine Rückmeldung. :)

Wir haben die Stammfunktion immer direkt mit der Ursprungsfunktion gebildet. Warum müssen wir hier erst Quadrieren und dann die Stammfunktion bilden? kann man nicht die Stammfunktion aus der Ursprungsfunktion (also f(x) = 1/200x²+3) bilden und dann erst Quadrieren?

Wie gesagt hat uns unser Lehrer noch nicht erklärt wie Integralrechnung mit Rotationskörper funktioniert. Wir sollten das wohl über die Ferien alleine herausfinden... nun sitze ich schon viele Stunden an diesem Arbeitsblatt, aber stück und stück werde ich schlauer.

Stell dir vor, du würdest die Vase in dünne Scheiben schneiden. Dann bekommst du annähernd dünne Zylinder mit dem Radius r=y=f(x) und der Höhe Δx.

Das Volumen solch eines Zylinders ist

πr^2*Δx=π*y^2*Δx=π*(f(x))^2*Δx

Nun alle Volumina addieren:

Σπ*(f(x))^2*Δx

Wenn die Scheiben immer dünner werden, erhalten wir das Integral.

Du siehst: Erst f(x) quadrieren, dann integrieren.

:-)

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