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(a) Zeigen Sie, dass durch
$$ R:=\{(x, y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid x \text { teilt } y\} $$
eine Ordnungsrelation auf \(\mathbb{N}\) definiert wird. Ist \(R\)eine Totalordnung?
(b) Für zwei Tupel \((a, b),(c, d) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}\) definieren wir
$$ (a, b) \leq(c, d) \quad: \Longleftrightarrow \quad a+b<c+d \text { oder }(a+b=c+d \text { und } a \leq c) $$
Zeigen Sie, dass \(\leq\)eine Wohlordnung auf der Menge \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) definiert.
(c) Stellen Sie graphisch (in der Ebene) dar, wie die Tupel \((a, b)\) mit \(a+b \leq 4\) durch die in \((\mathrm{b})$ definierte Relation angeordnet sind.

Ich hab leider kein Plan von Ordnungsrealtionen und allem was dazugehört. Kann jemand die Aufgabe lösen, damit ich verstehe wie es geht? Danke :)

von

Hausübung 4 Aufgabe 2 lool

1 Antwort

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Servus,

"Ich hab leider kein Plan von Ordnungsrealtionen und allem was dazugehört"

das ist aber nicht gut. Hol unbedingt die Definition und die Eigenschaften einer Ordnungsrelation nach. Ist sehr wichtig.


Ich werde die Aufgaben nicht lösen, dir aber Denkanstöße geben. Denn schließlich sollst du ja auch was lernen und nicht nur abschreiben.


Schauen wir uns die a) mal an. Da ist folgendes gegeben:

\(R:=\{(x, y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid x \text { teilt } y\}\).

Wir wollen nun untersuchen, ob es sich bei R um eine Ordnungsrelation handelt. Dazu gibt es Eigenschaften, die erfüllt sein müssen:

i) Reflexivität

ii) Antisymmetrie

iii) Transitivität

iv) Totalität


Die Reflexivität folgt sofort aus der Definition und sollte klar sein.

Für die Antisymmetrie soll man also zeigen, dass gilt:

Wenn \( x \mid y \) und \( y \mid x \), so ist \( x = y\).

(\( a \mid b\) bedeutet a teilt b, falls ihr es anders definiert haben solltet.)

Nun überlegst du dir, was es denn heißt, dass x ein Teiler von y ist. Wendest du die Definition von "x teilt y" an, formst diese ein wenig um, kommst du sofort auf das, was du zeigen sollst.

Der Rest funktioniert genauso - Definition anwenden, umformen, einsetzen, Ergebnis hinschreiben.



Lg

von

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