Aloha :)
Ein Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene ist der Verbindungsvektor der beiden Punkte. Die Mitte dieses Verbindungsvektor ist ein Punkt \(\vec a\) innerhalb der Ebene:
$$\vec n=\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p=\begin{pmatrix}7-3\\-5-(-1)\\-2-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\-6\end{pmatrix}$$$$\vec a=\frac{1}{2}\left(\vec p+\vec q\right)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3+7\\(-1)+(-5)\\4+(-2)\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}10\\-6\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-3\\1\end{pmatrix}$$
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet daher:$$\vec n\cdot \vec x=\vec n\cdot \vec a\quad\implies\quad\begin{pmatrix}4\\-4\\-6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\-6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\-3\\1\end{pmatrix}\quad\implies$$$$4x-4y-6z=20+12-6=26\quad\implies$$$$\boxed{2x-2y-3z=13}$$
Für die Normalenform musst du beide Seiten durch \(\sqrt{2^2+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{17}\) dividieren, damit links der Normalenvektor die Länge \(1\) hat.
