Offenbar liegt also eine Seite des Dreiecks auf der y-Achse. Dann aber müssen zwei der Ecken des Dreiecks auf der y-Achse liegen. Das können dann nur die y-Achsenabschnitte der gegebenen Geraden sein, die man aus den Geradengleichungen ablesen kann. Diese lauten:
y = - 4 x + 4 (vermutlich)
und
y = ( 1 / 2 ) x + 1
Die ersten beiden Eckpunkte des Dreiecks sind daher:
P1 = ( 0 | 1 )
P2 = ( 0 | 4 )
Der dritte Pukt ist der Schnittpunkt der gegbenen Geraden, also setzt man deren Funktionsteme gleich und erhält:
- 4 x + 4 = ( 1 / 2 ) x + 1 | * 2
<=> - 8 x + 8 = x + 2
<=> - 9 x = - 6
<=> x = - 6 / - 9 = 2 / 3
Die y-Koordinate des dritten Punktes ergibt sich durch Einsetzen seiner x-Koordinate in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ( ich nehme die zweite):
y = ( 1 / 2 ) x + 1 = ( 1 / 3 ) + 1 = 4 / 3
Somit gilt für den dritten Punkt:
P3 = ( 2 / 3 | 4 / 3 )
Der Umfang U eines Dreiecks ist gleich der Summe seiner Seitenlängen. Diese müssen einzeln aus den Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden.
Am einfachsten ist die Bestimmung der Länge der Seite a = P1P2 . Da diese auf der y-Achse liegt ist ihre Länge einfach der Betrag der Differenz der y-Koordinaten ihrer Endpunkte P1und P2 , also:
a = 4 - 1 = 3
Die Länge der Seite b, welche durch die Punkte P1 und P3begrenzt wird, muss hingegen nach der aus dem Satz des Pythagoras abgeleiteten Formel:
b = √ ( ( x3 - x1 ) 2 + ( y3 - y1 ) 2 )
berechnet werden. Dabei sind x1 bzw. x3 die x-Koordinaten der Punkte P1 bzw. P3 und y1 bzw. y3 deren y-Koordinaten. Also:
b = √ ( ( x3 - x1 ) 2 + ( y3 - y1 ) 2 )
= √ ( ( ( 2 / 3 ) - 0 ) 2 + ( ( 4 / 3 ) - 1 ) 2 )
= √ ( ( 4 / 9 ) + ( 1 / 9 ) )
= √ ( 5 / 9 )
Ebenso verfährt man mit Seite c, welche durch die Punkte P2 und P3begrenzt wird:
c = √ ( ( x3 - x2 ) 2 + ( y3 - y2 ) 2 )
= √ ( ( ( 2 / 3 ) - 0 ) 2 + ( ( 4 / 3 ) - 4 ) 2 )
= √ ( ( 4 / 9 ) + ( 64 / 9 ) )
= √ ( 68 / 9 )
Der Umfang U des Dreiecks beträgt somit:
U = a + b + c = 3 + √ ( 5 / 9 ) + √ ( 68 / 9 )
≈ 6,49
