Winkel zwischen Geraden und Koordinatenachsen berechnen und Eckpunkte eines Dreiecks berechnen

Question

Gegeben sind die Geraden g, h und k (bitte Anhang sehen).

a) Berechnen Sie die Winkel zwischen den Geraden und den Koordinatenachsen.

b) Die drei Geraden bilden ein Dreieck. Berechnen Sie die Eckpunkte des Dreiecks und die Größe der Innenwinkel.

Ansatz in schriftlicher Form:

a) Zuerst habe ich die Beträge von a,b,c (so habe ich die Geraden g,h,k genannt) berechnet und dann anschließend a*b, b*c und a*c. Schließlich habe ich 3 verschiedene cos (x) Werte berechnet (cos von a*b und deren Beträge, von b*c sowie von a*c).

Problem:

a) Hier habe ich das Gefühl, dass ich noch nicht fertig bin. Ich bin so weit angekommen, dass ich 3 verschiedene Grad von cos(x) habe und weiß nicht, was diese Aufgabe mit Koordinatenachsen zu tun hat (siehe Anhang, dort habe ich 3 Koordinatenachsen geschrieben, konnte aber damit nichts anfangen).

b) Mit dieser Teilaufgabe bin ich tatsächlich komplett überfordert...

Meine Notizen und Aufgabe:

Comments

Danke für die beiden Antworten. Werde ich mir morgen in Ruhe anschauen! Könnte jemand noch was zu a) schreiben?

---

Wenn eine Gerade eine andere (hier eine Koordinatenachse) nicht schneidet, gibt es keinen Winkel zwischen den Geraden, da sie aneinander vorbeilaufen (windschief).

Hast du dich vielleicht verschrieben und meinst die Schnittwikel der Geraden mit den Koordinatenebenen?

;-)

---

Nein, ist schon richtig so, denn im Buch steht: Berechnen Sie die Winkel zwischen den Geraden und den Koordinatenachsen

---

Gibt es denn niemanden, der mir was zu a) sagen kann??

---

Vom Duplikat:

Titel: Winkel zwischen Geraden und Koordinatenachsen berechnen und Eckpunkte eines Dreiecks berechnen.

Stichworte: vektoren,dreieck,winkel,eckpunkte,koordinaten

Gegeben sind die Geraden g, h und k (bitte Anhang sehen).

a) Berechnen Sie die Winkel zwischen den Geraden und den Koordinatenachsen.

Ansatz in schriftlicher Form:

a) Zuerst habe ich die Beträge von a,b,c (so habe ich die Geraden g,h,k genannt) berechnet und dann anschließend a*b, b*c und a*c. Schließlich habe ich 3 verschiedene cos (x) Werte berechnet (cos von a*b und deren Beträge, von b*c sowie von a*c).

Problem:

a) Hier habe ich das Gefühl, dass ich noch nicht fertig bin. Ich bin so weit angekommen, dass ich 3 verschiedene Grad von cos(x) habe und weiß nicht, was diese Aufgabe mit Koordinatenachsen zu tun hat (siehe Anhang, dort habe ich 3 Koordinatenachsen geschrieben, konnte aber damit nichts anfangen).

Anhang:

Answer 1

Für die Eckpunkte des Dreiecks brauchst du jeweils die Schnittpunkte

von einer Geraden mit den beiden anderen.

Also etwa bei g und h:

$$\begin{pmatrix} 3\\0\\1 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 2\\3\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\-6\\5 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} -2\\5\\1 \end{pmatrix}$$

$$<=>\begin{pmatrix} 4\\6\\-4 \end{pmatrix}=s*\begin{pmatrix} -2\\5\\1 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -2\\-3\\2 \end{pmatrix}$$

Das gibt drei Gleichungen, mit der Lösung s=0 und r=-2.

Also ist der Schnittpunkt (-1;-6;5) .

Entsprechend für die anderen.

Answer 2

Was Du berechnet hast ist b) und sollte sein

Was Du berechnest sind die grünen Winkel, den Innenwinkel δ des Dreieck musst Du nachreichen.

Wie man die Winkel zwischen den Geraden und den Achsen berechnet soll Dir der Autor der Aufgabe erklären....

Answer 3

Wenn du die Eckpunkte des Dreiecks hast, kannst du die Seitenlänge berechnen und zur Not ( was Elegantes fällt mur jetzt nicht ein ) mit dem Kosinus-Satz einen Winkel, den zweiten mit dem Sinus-Satz und den 3 über Summe der Winkel gleich 180° .

Answer 4

a)

Die Geraden liegen windschief zu den Koordinatenachsen und bilden daher mit diesen keinen Winkel.

Wenn man das mal ignoriert und die Geraden parallel verschiebt, sodass die Koordinatenachsen geschnitten werden würde man die Winkel wie folgt berechnen:

Winkel zwischen g und den Koordinatenachsen
ARCCOS(ABS([2, 3, -2]·[1, 0, 0])/(ABS([2, 3, -2])·ABS([1, 0, 0]))) = 60.98°
ARCCOS(ABS([2, 3, -2]·[0, 1, 0])/(ABS([2, 3, -2])·ABS([0, 1, 0]))) = 43.31°
ARCCOS(ABS([2, 3, -2]·[0, 0, 1])/(ABS([2, 3, -2])·ABS([0, 0, 1]))) = 60.98°

Winkel zwischen h und den Koordinatenachsen
ARCCOS(ABS([-2, 5, 1]·[1, 0, 0])/(ABS([-2, 5, 1])·ABS([1, 0, 0]))) = 68.58°
ARCCOS(ABS([-2, 5, 1]·[0, 1, 0])/(ABS([-2, 5, 1])·ABS([0, 1, 0]))) = 24.09°
ARCCOS(ABS([-2, 5, 1]·[0, 0, 1])/(ABS([-2, 5, 1])·ABS([0, 0, 1]))) = 79.48°

Winkel zwischen k und den Koordinatenachsen
ARCCOS(ABS([4, 22, -6]·[1, 0, 0])/(ABS([4, 22, -6])·ABS([1, 0, 0]))) = 80.05°
ARCCOS(ABS([4, 22, -6]·[0, 1, 0])/(ABS([4, 22, -6])·ABS([0, 1, 0]))) = 18.15°
ARCCOS(ABS([4, 22, -6]·[0, 0, 1])/(ABS([4, 22, -6])·ABS([0, 0, 1]))) = 74.98°

b)

Eckpunkte des Dreiecks
[3, 0, 1] + r·[2, 3, -2] = [-1, -6, 5] + s·[-2, 5, 1] → r = -2 ∧ s = 0 → A[-1, -6, 5]
[3, 0, 1] + r·[2, 3, -2] = [3, -16, 3] + t·[4, 22, -6] → r = 2 ∧ t = 1 → B[7, 6, -3]
[-1, -6, 5] + s·[-2, 5, 1] = [3, -16, 3] + t·[4, 22, -6] → s = -2 ∧ t = 0 → C[3, -16, 3]

Richtungsvektoren der Dreiecksseiten
AB = [8, 12, -8] = 4·[2, 3, -2]
AC = [4, -10, -2] = 2·[2, -5, -1]
BC = [-4, -22, 6] = 2·[-2, -11, 3]

Innenwinkel des Dreiecks
α = ARCCOS([2, 3, -2]·[2, -5, -1]/(ABS([2, 3, -2])·ABS([2, -5, -1]))) = 113.49°
β = ARCCOS(-[2, 3, -2]·[-2, -11, 3]/(ABS([2, 3, -2])·ABS([-2, -11, 3]))) = 25.72°
γ = ARCCOS([2, -5, -1]·[-2, -11, 3]/(ABS([2, -5, -1])·ABS([-2, -11, 3]))) = 40.79°

Comments

Leider kann ich keine 2 besten Antworten vergeben (auch wenn ich diese Antwort als beste ausgewählt habe und versucht habe noch eine andere auszuwählen und die Seite komischerweise die nur die andere als beste ausgewählt hat), jedoch danke ich Ihnen für die Antwort und Hilfe über WA.

---

Nicht so wild. Hauptsache ist du hast es verstanden. Ich habe die obige Rechnung noch ergänzt, sodass du für alle Aufgaben eine Vergleichslösung hast.

---

Hallo, ich rechne gerade die gleiche Aufgabe und verstehe nicht warum beta in Betrag gesetzt wurde und alpha nicht? Könnte das bitte jemand erklären?

---

Grundsätzlich brauchst du nur ein Betrag bilden wenn du siehst das etwas negatives heraus kommt. Ansonsten ändert der Betrag ja nichts. Alternativ kann man auch eine Korrektur mit -1 als Faktor machen.

---

Danke, ist es nicht so, dass der Betrag nur bei Geraden verwendet wird und wenn bei Vektoren das Skalarprodukt negativ ist, wird kein Betrag gesetzt? Ich dachte in diesem Fall wird kein Betrag verwendet weil es sich ja um die Vektoren der Gerade handelt

---

Ach du meinst bei den Innenwinkeln. Ja richtig. Dort wird kein Betrag gesetzt, weil die Innenwinkel ja auch größer als 90 Grad sein können.

---

Die Winkelsumme beträgt ja 180°. Wenn ich beta ohne Betragsstriche Berechne komme ich auf Beta=154,3° wenn alpha aber schon 113° ist kann das ja nicht stimmen. Wo liegt denn genau mein Fehler?

---

Für den Winkel β brauchst du die Richtungsvektoren BA und BC.

Wenn du also AB hast dann gilt

BA = -AB

Dort wäre dann der Gegenvektor zu bilden.

---

Viele Dank, ich kann die Rechnung nachvollziehen, jedoch ist mir nicht ganz klar wieso hier der Gegenverkehr gebildet werden muss

---

Weil ich AB berechnet hatte und nicht BA. Die Vektoren müssen aber beide von dem Punkt wegzeigen oder zu dem Punkt hinzeigen, bei dem der Winkel gebildet wird.

---

Okay, vielen Dank! Jetzt habe ich es verstanden!