Zeigen Sie, dass V / U isomorph ist zum dem Vektorraum W ist

Question

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Sei $M$ eine Menge, $N \subseteq M$ eine Teilmenge und $K$ ein Körper. Betrachten Sie den Vektorraum $V=\operatorname{Abb}(M, K)$ der Abbildungen $M \rightarrow K$. Sei
$$U:=\{f \in \operatorname{Abb}(M, K) \mid f(n)=0 \forall n \in N\} \subseteq V$$
der Unterraum der Abbildungen $M \rightarrow K$, die auf $N$ verschwinden. Zeigen Sie, dass $V / U$ isomorph ist zum dem Vektorraum $W=\operatorname{Abb}(N, K)$.

Bitte um hilfe

Comments

Homomorphiesatz?

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"Ist f: A->B ein Homomorphismus und ker(f) der Kern von f dann ist der Quotient A/ker(f) isomorph zum Bild f(A)" -Wikipedia

Ich steh aufm Schlauch wie kann ich damit es lösen?

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Ganz einfach: Suche eine lineare Abbildug

$$\varphi: \operatorname{Abb}(M,K) \to \operatorname{Abb}(N,K)$$

d.h. $\varphi(\lambda f +g ) = \lambda \varphi(f) + \varphi(g)$ die zusätzlich noch

1. surjektiv ist

und

2. $\ker(\varphi) = U$ erfüllt

Klingt jetzt vielleicht erst einmal etwas umständlich ist aber gar nicht so schwierig. Was wäre denn eine naheliegende Abbildungsvorschrift für

$$\varphi: \operatorname{Abb}(M,K) \to \operatorname{Abb}(N,K)$$

? Die Abbildung muss einer Abbildung $f : M \to K$ eine Abbildung $\varphi(f) : N \to K$ zuordnen. Es ist $N \subseteq M$.

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Vielen Dank !