Konvergenz bei Grenzwertsätzen zeigen

Question

Hallo in die Mathe-Community,

ich stehe vor folgender Aufgabenstellung und ich bin leider überfragt, wie ich diese beantworten soll ?

Vielen Dank im Voraus ..

Es soll gezeigt werden dass (\(\sqrt[n]{n} \)) gegen die Zahl 1 konvergiert. Es soll wie folgt vorgegangen werden:

1) Sei (Cn) die Folge mit cn:=\( \sqrt[n]{n}-1 \) . Es soll gezeigt werden, dass n>=1+\( \frac{n(n-1)}{2} \)c\( ^{2} \)n für n>=2 ist.
(Es soll (1+cn)\( ^{n} \) genommen werden, um die obige Betrachtung zu zeigen.)

2) Es soll gezeigt werden, dass cn <=\( \sqrt{\frac{2}{n}} \) für n>=2 ist und auch dass (Cn)n∈ℕ gegen die Zahl 0 konvergiert.

3) Danach soll die Aussage gezeigt werden.

Comments

Kann es ein, dass es \(\boxed{c_n:=\sqrt[n]n-1}\) heißen soll?

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Ja genau , danke für die Anmerkung

Answer 1

Aloha :)

Wir folgen der Bedienungsanleitung und setzen: \(c_n\coloneqq\sqrt[n]{n}-1\ge0\).

1) Für \(n\ge2\) liefert uns der binomische Lehrsatz:$$n=(\underbrace{1+c_n}_{=\sqrt[n]{n}})^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}c_n^k\ge\binom{n}{0}1^{n-0}c_n^0+\binom{n}{2}1^{n-2}c_n^2=1+\frac{n(n-1)}{2}c_n^2$$

2) Diese Ungleichung formen wir etwas um:$$n\ge1+\frac{n(n-1)}{2}c_n^2\implies n-1\ge\frac{n(n-1)}{2}c_n^2\stackrel{(n\ge2)}{\implies}1\ge\frac{n}{2}c_n^2\implies c_n\le\sqrt{\frac{2}{n}}$$

3) Wegen \(\sqrt{\frac{2}{n}}\to0\) ist dann:

$$0\le c_n\le\sqrt{\frac{2}{n}}\implies0\le\sqrt[n]{n}-1\le\sqrt{\frac{2}{n}}\implies1\le\sqrt[n]{n}\le1+\sqrt{\frac{2}{n}}\implies$$$$1\le\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\le\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)=1+\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\frac{2}{n}}=1\implies$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$

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Super Vielen Dank , für deine Hilfe ..