Aufgaben über Urbilder, Umkehrabbildung, Komposition und surjektiv, injektiv

Question

Aufgabe:

Seien X; Y; Z nicht-leere Mengen.
(a) Seien G: Z → X und H: Z → Y Funktionen und definiere F : Z → X x Y; z ↦ (G(z),H(z)).
Seien A⊂X und B⊂Y . Bestimmen Sie das Urbild F^-1(A x B).

(b) Sei f : X →Y eine Funktion und seien A⊂X und B⊂Y . Zeigen Sie, dass gilt :
f(f^-1(A)) ⊂ A und f^-1(f(B))⊃B

(c) Seien g, h: X → Y Funktionen. Zeigen Sie:

∀ A⊂Y: g(g^-1(A)) = A ⇔ g ist surjektiv

∀B ⊂ X: h^-1(h(B)) = B ⇔ h ist injektiv

Answer 1

a) Damit z aus diesem Urbild ist, müssen   G(z)∈A   und H(z)∈B sein.

Also z ∈G^(-1) (A) und   z ∈H^(-1) (B)   also ist das Urbild

              G^(-1) (A) ∩  H^(-1) (B).