Mathematischer Beweis mit Matrizen

Question

Aufgabe:

(a) Sei \( n \in \mathbb{N} \) und \( M \in \operatorname{Mat}_{n}(\mathbb{R}) \) mit \( M^{2}=E_{n} \). Zeigen Sie, dass

\( e^{t M}=\cosh (t) E_{n}+\sinh (t) M \)

für alle \( t \in \mathbb{R} \) gilt.

(b) Sei \( \alpha \in \mathbb{R} \) beliebig. Bestimmen Sie \( e^{A} \) für
\( A=\left(\begin{array}{ll} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{array}\right) . \)

Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich benötige Unterstützung bei dieser Form von Aufgaben, das beweisen fällt mir leider noch recht schwer. Bei Aufgabe a) habe ich damit begonnen mir anzuschauen was M2n sein könnte, weiss dann aber nicht weiter. Liege ich richtig damit das man bei b) e^A einfach berechnen kann?

Liebe Grüße

Comments

Wie ist denn das Matrixexponential definiert?

Answer 1

b) Ist doch wie bei der Reihe für die e-Funktion.

Du brauchst also die Potenzen von A. Zeige zuerst

A^n =   1    n*a
           0     1

Setze dann ein und bilde die Summe

1 + A + A^2/2! + A^3/3! + .......

Dabei entsteht rechts oben und links unten in der Matrix die  Reihe

1+1+1/2! +1/3! + 1/4! + .... also jeweils 1+e.

Links unten bleibt es 0 und rechts oben entsteht die Reihe

1 + a+ 2a/2! + 3a/3! + 4a/4! + ........... kürzen !

=  1 + a+ a + a/2! + a/3! + ...........

= a + e^a .

Also insgesamt die Matrix

 1+e     a+e^a

   0         1+e