Wie kann ich die Monotonie der Folge bestimmen?

Question

Gegeben ist die Folge mit n größer gleich 1

\( a_{n}=\frac{1+6 n+2 n^{2}}{n^{2}+3 n} \)

Wie kann ich die Monotonie der Folge bestimmen?

Wenn ich es mit \( a_{n+1}-a_{n} > oder < 0 \) mache, bekomme ich einen superlangen Ausdruck raus.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde den Term für die Folgenglieder \(a_n\) zunächst etwas umformen:$$a_n=\frac{1+6n+2n^2}{n^2+3n}=\frac{1+2n(3+n)}{n(n+3)}=\frac{1}{n(n+3)}+\frac{2n(n+3)}{n(n+3)}=2+\frac{1}{n(n+3)}$$Je größer \(n\) wird, desto größer wird der Nenner des Bruches. Dadurch wird der Bruch kleiner. Die Folge ist streng monoton fallend. Wenn du das noch formal zeigen möchtest:

$$n(n+3)<(n+1)(n+4)\implies\frac{1}{n(n+3)}>\frac{1}{(n+1)(n+4)}\implies$$$$2+\frac{1}{n(n+3)}>2+\frac{1}{(n+1)(n+4)}\implies a_n>a_{n+1}$$