Optimierungsaufgabe -> maximale Fläche von 2 nebeneinander liegenden Rechtecken.

Question

Ein Bauer kann sich 300m zaun leisten, um einen Weidezaun zu erstellen, der in zwei gleichgroße Rechtecke unterteilt ist. Bestimmen Sie die maximale Weidefläche. 

Answer 1

Nun, der Gesamtflächeninhalt A der beiden Rechtecke ist:

A = 2 * x * y

Dieser soll maximal werden.

Die Länge des zur Verfügung stehenden Zaunes ist 300 m. Diese müssen auf 4 Strecken der Länge x und drei Strecken der Länge y aufgeteilt werden, also:

4 * x  + 3 * y  = 300

<=> y = ( 300 - 4 x ) / 3 = 100 - ( 4 / 3 ) x 

Setzt man dies in A ein, erhält man:

A ( x ) = 2 * x * ( 100 - ( 4 / 3 ) x  )

= 200 x - ( 8 / 3 ) x ²

Nun soll man das Maximum von A ( x ) bestimmen, also Ableitung gleich Null setzen:

A ' ( x ) = 200 - ( 16 / 3 ) x = 0

und nach x auflösen:

<=> x = 200 / ( 16 / 3 ) = 200 * 3 / 16 = 37,5

Also: Höchstens für x = 37,5 kann A ( x ) maximal sein.

Prüfung mit der zweiten Ableitung: A ' ' ( x ) = - ( 16 / 3) ist überall negativ, also insbesondere auch bei x = 37,5. Also liegt dort tatsächlich ein Maximum von A vor.

Für y ergibt sich damit (siehe oben):

y = 100 - ( 4 / 3 ) x = 100 - ( 4 / 3 ) * 37,5 = 50

Die Strecken x sind also mit jeweils 37,5 Metern und die Strecken y mit 50 Metern zu bemessen. Die maximale Gesamtfläche A beträgt somit:

A_max = 2 * 37,5 * 50 = 3750 m ²