Aloha :)
Hier liegt ein symmetrisches Integrationsintervall \(x\in[-5;5]\) vor. In einem solchen Fall ergibt ein zum Ursprung punktsymmetrischer Integrand keinen Beitrag. Bei dem fummeligen Integranden hier, macht es daher Sinn, diesen in einen achsensymmetrischen Anteil \(g(x)\) und einen punktsymmetrsichen \(u(x)\) Anteil zu zerlegen.$$f(x)\coloneqq\frac{x^3\sin^2x}{x^4+2x^2+1}=g(x)+u(x)$$$$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{x^3\sin^2x}{x^4+2x^2+1}+\frac{(-x)^3\sin^2(-x)}{(-x)^4+2(-x)^2+1}\right)=0$$$$u(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{x^3\sin^2x}{x^4+2x^2+1}-\frac{(-x)^3\sin^2(-x)}{(-x)^4+2(-x)^2+1}\right)=f(x)$$
Damit ist nun:$$\int\limits_{-5}^5\frac{x^3\sin^2x}{x^4+2x^2+1}dx=\int\limits_{-5}^50\,dx=0$$
