Beweis einer Summenformel

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Beweisen Sie folgende Summenformel:
$$ \sum \limits_{m=2}^{\infty} \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{m^{n}}=1 $$

Problem/Ansatz:

ich bräuchte mal eure Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich weiß, dass ich die geometrische Reihe, Partialbruchzerlegegung und die Teleskopsumme (in der Reihenfolge) anwenden soll. Aber ich weiß nicht, wie ich mit dem doppelten Summenzeichen umgehen soll und scheitere somit schon an der geometrischen Reihe.

Ich habe bisher:
Summe von m=2 bis unendlich von 1/(1-m)=1, aber das kann nicht richtig sein...

Vielleicht weiß einer von euch weiter... Ich würde mich sehr freuen!

Answer 1

Hallo,

Aber ich weiß nicht, wie ich mit dem doppelten Summenzeichen umgehen soll ...

Teile und herrsche ... also teile das Problem. Es ist doch $$\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{n=2}^{\infty} \frac 1{m^n} = \sum_{m=2}^{\infty} \left( \sum_{n=2}^{\infty} \frac 1{m^n} \right)$$also nimm Dir zunächst mal den Term in Klammern vor. Du kennst die Formel für die geometrische Reihe$$\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac 1{1-q}, \quad |q| \lt 1$$und daraus folgt dann$$\begin{aligned} \sum_{n=2}^{\infty} \frac 1{m^n} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac 1{m^n} \space - \frac 1{m^0} - \frac 1{m^1} \\ &= \frac 1{1 - \frac 1m} - 1 - \frac 1m \\&= \frac m{m-1} - 1 - \frac 1m \\&= \frac{m^2 - m(m-1) - (m-1)}{m(m-1)} \\&= \frac 1{m(m-1)}\end{aligned} $$Dann vereinfacht sich das ganze zu$$\begin{aligned}\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{n=2}^{\infty} \frac 1{m^n}  &= \sum_{m=2}^{\infty} \frac 1{m(m-1)} \\ \end{aligned}$$und nun die Partialbruchzerlegung:$$\begin{aligned} \frac 1{m(m-1)} &= \frac Am + \frac{B}{m-1} \\ 1 &= A(m-1)  + Bm \\ \underbrace{A + 1}_{=0} &= \underbrace{(A+B)}_{=0} m \\ \implies A &= -1, \quad B = 1 \\ \end{aligned}$$Also$$\begin{aligned}\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{n=2}^{\infty} \frac 1{m^n}  &= \sum_{m=2}^{\infty} \frac 1{m(m-1)} \\  &= \sum_{m=2}^{\infty} \left( \frac{1}{m-1} -\frac 1m \right) \end{aligned} $$

Comments

Danke für die Antwort, ich gucke mal, ob ich ich nun weiterkomme!

Wie kommt man von 1/(1-(1/m)) auf m/(m-1)?

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Wie kommt man von 1/(1-(1/m)) auf m/(m-1)?

Erweitere den Bruch mit \(m\) $$\frac 1{1 - \frac 1m} = \frac{1 \cdot m}{\left( 1 - \frac 1m\right)\cdot m} = \frac{m }{m - \frac mm} = \frac m{m-1}$$

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Alles klar, verstanden :)

Aber eine Partialbruchzerlegung lässt sich doch jetzt nicht anwenden, weil im Zähler keine Variable steht?

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Aber eine Partialbruchzerlegung lässt sich doch jetzt nicht anwenden, weil im Zähler keine Variable steht?

Eine Partialbruchzerlegung bietet sich immer an, wenn im Nenner ein Produkt steht. Das ist hier der Fall. Ich habe meine Antwort erweitert (s.o.)