Die Nullstelle berechnen

Question

Aufgabe:

wie berechnet man die Nullstelle dieser Funktion f(x)=2x³-3x²+2

Problem/Ansatz:

Vielen Dank für die Antwort.

Answer 1

f(x) = 2·x^3 - 3·x^2 + 2 = 0

f'(x) = 6·x^2 - 6·x = 6·x·(x - 1) = 0 --> x = 0 ∨ x = 1

f(0) = 2 → HP(0 | 2)

f(1) = 1 → TP(1 | 1)

Der Tiefpunkt ist oberhalb der x-Achse. Damit kann es nur eine Nullstelle vor dem Hochpunkt x < 0 geben. Ein Näherungsverfahren ergibt die Lösung x = -0.677650699

Skizze

~plot~ 2x^3-3x^2+2;{0|2};{1|1};{-0.68|0} ~plot~

Answer 2

Hallo :-)

Womöglich hast du gemerkt, dass diese Funktion keine ganzzahlige Nullstelle hat. Es gibt zwar auch für kubische Polynome geschlossene Lösungsformeln, die sind aber ultra brutal hässlich. Wenns dich aber trotzdem interessiert, habe ich mal bei einer vergangenen Frage das mal aus Spaß vorgerechnet:

https://www.mathelounge.de/816234/berechnen-der-nullstellen

Ansonsten gibt es da jetzt zahlreiche Näherungsverfahren: Intervallhalbierung, Newton-Verfahren usw. die auch heutige Taschenrechner beherrschen (vielleicht auch deiner?).

Du kannst aber den Fakt nutzen, das Funktionen mit polynomiellen Ausdrücken immer stetig (salopp gesagt, du kannst die Funktion zeichnen, ohne den Stift abzusetzen) sind und bei ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle haben. Wegen der Stetigkeit kannst du nun mal paar Werte für \(x\) einsetzen und \(f(x)\) berechnen, zb diese Werte:

\(f(-1)=-3\) und \(f(0)=2\).

Du hast also im Intervall \([-1,0]\) mindestens ein Vorzeichenwechsel von \(f\), sodass es wegen der Stetigkeit von \(f\) auch mindestens eine Stelle \(t\in [-1,0]\) gibt, sodass \(f(t)=0\) gilt. Genaueres zu diesem Thema kannst du mit dem Schlagwort Zwischenwertsatz nachschauen. Aber so kommst du auch erstmal weiter... . Jetzt kannst du einfachmal weiter Testwerte aus dem Intervall \([-1,0]\) einsetzen, sodass du den Funktionswert zb auf zwei Nachkommastellen mit Nullen hast. Das wäre ja zb für erste Berechnungen eine einigermaßen akzeptable Näherung.

Wie man geschickt bzw. effizient Näherungswerte für Nullstellen von Funktionen bekommt, kannst du zb mit dem Intervallhalbierungsverfahren oder Newton usw. erreichen, die wiegesagt heutige Taschenrechner können.