0 Daumen
99 Aufrufe

Aufgabe:

f(x)=\( x^{6} \)-6\( x^{2} \)+\( \sqrt{3} \)


Problem/Ansatz:

Wie berechne ich hier am schnellsten bzw. am einfachsten die Nullstellen? Vllt. Polynomdivision?

von

Polynomdivision hilft sicher weiter, wenn du bereits einen Faktor des Polynomterms kennst. Wie lautet denn die genaue Aufgabe und was ist der Stoffzusammenhang, in dem diese Aufgabe gestellt wurde?

Wie lautet die Aufgabenstellung genau. Die Lösung bei Wolframalpha lässt darauf schließen, dass evtl. nur eine Näherungslösung gefragt wird.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E6-6x%5E2%2Bsqrt%283%29

Die Aufgabe lautet eigentlich ob der Graph achsen- bzw. punktsymmetrisch ist? Die Nullstellen wollte ich eigentlich nur als Übung berechnen um quadratische Funktionen besser zu verstehen.

Okay. Zum einen ist das keine quadratische Funktion und zum anderen ist sie sicher symmetrisch zur y-Achse.

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo, wenn dich die Nullstellen interessieren kannst du deinen Term in diesem speziellen Fall auf ein Polynom 3 Grades überführen. Die Nullstellen kannst du dann mit den Cardanoformeln lösen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln#%CE%94_%3C_0_(casus_irreducibilis)

Substituiere \(w=x^2\). Dann wird aus \(f(x)=x^6-6x^2+\sqrt{3}\) die neue Funktion \(f(w)=w^3\underbrace{-6}_{=p}w+\underbrace{\sqrt{3}}_{=q}\).

\(Aw^3+Bw^2+Cw+D=0\) hat drei folgende Lösungen:

\(w_2 = -\,\sqrt{-\frac{4}{3}p} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) + \frac{\pi}{3} \right)  - \frac{B}{3A}\\w_1 =\quad\sqrt{-\frac{4}{3}p} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) \right)  - \frac{B}{3A}\\w_3 = -\,\sqrt{-\frac{4}{3}p} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) - \frac{\pi}{3} \right)  - \frac{B}{3A}\)

Und jetzt nur noch alles in die Formeln einsetzen:

\(A=1, \quad B=0, \quad C=p=-6, \quad D=q=\sqrt{3}\)

\(w_2 = -\,\sqrt{-\frac{4}{3}\cdot (-6)} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-6)^3}} \right) + \frac{\pi}{3} \right)\\\quad=-\sqrt{8}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\cdot \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{8}}\right)+\frac{\pi}{3} \right)= 0,29286...\\[15pt] w_1 =\quad\sqrt{-\frac{4}{3}\cdot (-6)} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-6)^3}} \right) \right)\\\quad = \quad\sqrt{8} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{8}} \right) \right)= 2,28989...\\[15pt]w_3 =-\,\sqrt{-\frac{4}{3}\cdot (-6)} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-6)^3}} \right) - \frac{\pi}{3} \right)\\\quad = -\,\sqrt{8} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{8}} \right) - \frac{\pi}{3} \right)= -2,58275...\)

Und jetzt willst du vielleicht nur die reellen Lösungen haben, weshalb ich jetzt \(w_3\) ignoriere.

Und jetzt muss man nur noch resubstituieren:

\(x_{1,2}=\pm\sqrt{w_2}\approx \pm 0,54117\\ x_{3,4}=\pm\sqrt{w_1}\approx \pm 1,51324\)

von 10 k
0 Daumen

Hallo

dazu müsste man Nullstellen mindestens von Polynomen dritten Grades ausrechnen können, (das geht , ist aber recht kompliziert) da es sicher keine ganzzahligen Nullstellen gibt, kann man sie sonst  nur numerisch  ausrechnen. da das Ding symmetrisch zur y- Achse ist, tritt jede Nullstelle mit ± auf,

lul

von 56 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community