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Aufgabe:

Und wenn es heißt Aufgabe: Bestimmen sie den Funktionsterm f(x) derjenigen ganzrationalen Funktuon dritten Grafes,...
c) deren Graph im Ursprung die x-Achse berührt und deren Tangente im Punkt (1|-1) die Steigung 24 hat

Formale Bedingungen
1. f(0)=0
2. f(1)=-1
3. f‘(1)=0
4. ? Wie gibt man an dass der Punkt (1|-1) die Steigung 24 hat
Problem/Ansatz:

Hier weiß ich gar nicht wie ich starten muss....bitte Hilfe, Ansätze, Lösungswege o.ä.

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f(0)= 0

f'(0)= 0

f(1)= -1

f'(1) =24

Berühren bedeutet, dass die Steigung an der Stelle gleich ist   der Steigung der x-Achse ist.

Diese beträgt 0.

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Formale Bedingungen

1. f(0)=0
2. f '(0)=0
3. f(1)=-1
4. f '(1)=24


Ansatz:

(I) f(x)=ax3+bx2+cx+d

(II) f '(x)=3ax2+2bx+c


1. und 3. in (I) einsetzen.

2. und 4. in (II) einsetzen

Das ergibt ein System von vier Gleichungen mit den Unbekannten a, b, c und d.

Die Lösungen in (I) einsetzen.

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Aloha :)

Wenn ein Graph die xx-Achse nur berührt und nicht schneidet, muss die Vielfachheit der Nullstelle gerade sein, also eine doppelte, vierfache, sechsfache... Nullstelle. Da wir hier ein Polynom dritten Grades haben, muss bei x=0x=0 also eine doppelte Nullstelle vorliegen. Die Funktionsgleichung muss also den Faktor x2x^2 enthalten. Daher reicht der Ansatz:f(x)=ax2(xb)=ax3abx2f(x)=a\cdot x^2\cdot(x-b)=ax^3-abx^2

Der Punkt (11)(1|-1) liegt auf dem Graphen, daher ist1=f(1)=a(1b)=aab    ab=a+1-1=f(1)=a(1-b)=a-ab\implies ab=a+1

Die Steigung im Punkt x=1x=1 ist 2424:24=f(1)=[3ax22abx]x=1=3a2ab    2ab=3a2424=f'(1)=\left[3ax^2-2abx\right]_{x=1}=3a-2ab\implies 2ab=3a-24Wir fassen beide Gleichungen für abab zusammen2(a+1)=2ab=3a24    2a+2=3a24    a=26    ab=272(a+1)=2ab=3a-24\implies 2a+2=3a-24\implies a=26\implies ab=27

Die gesuchte Funktion lautet also:f(x)=26x327x2\boxed{f(x)=26x^3-27x^2}

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f1(x) = 26x3-27x2P(0|0)P(1|-1)f2(x) = 24x-25Zoom: x(-0,6…1,5) y(-5…10)


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