f: [0,1] →ℝ stetig. Für 0≤x≤1sei Mx:= { f(t)|0≤t≤x }. Supremumsfunktion S(x):= sup Mx. Zeige: S ist stetig auf [0,1]

Question

folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen:

Es sei f: [0,1] →ℝ stetig. Für 0 ≤ x ≤ 1   sei M_x:= { f(t) | 0 ≤ t ≤ x }

Dann ist M_x beschränkt (warum?) und die Funktion S: [0,1] → ℝ gegeben durch  S(x):= sup M_x erklärt (warum?).

Zeige: S ist stetig auf [0,1]

 

Kann mir bitte einer helfen? Danke