allgemeine Form der Parabel y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
oder mit anderen Buchstaben y=f(x)=a*x²+b*x+c
Nomalform 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
eine parabel ist immer u-förmig !qu
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Kapitel,quadratische Gleichung,Lösbarkeitsregeln
Die möglichen Lösungen ergeben sich aus den Radikant (p/2)²-q nennt man Diskriminante
D=(p/2)²-q
1 Fall: D>0 2 reelle Lösungen (Schnittstelle mit der x-Achse)
2 Fall: D=0 → doppelte Nullstelle x1=x2=x Graph berührt hier nur die x-Achse
3 Fall: D<0 → nur 2 konjugiert komplexe Lösungen (Graph liegt komplett über der x-Achse oder unter der x-Achse
3 Fall: Beispiel: f(x)=1*x²+1*x+2 Parabel nach oben offen,liegt komplett über der x-Achse
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angeneine form \( y-f(x)=a 2 * x \) Scheitelpunktform \( y=f(x)=a 2^{*}(x-x B)^{2}+y \) Schertelpunkt \( P s(x s / y s)=1 t \quad x s=-(a 1) /(2 * a 2) \) und \( y=-(a 1)^{2} /(4 * a 2)+a \sigma \)
Xormalform \( 0-x^{2}+p^{*} x+d \) Nu11stellen mit der \( p-q- \) Formel
$$ x^{1}, 2=-p / 2+1-\sqrt{\left((p / 2)^{2}-q\right)} \mid $$
gemischtquad ratische Form \( 0-x^{2}+p^{*} x \) Nullstellen bei \( x 1=0 \) und
einfachste Form \( y-a^{4} x^{2}+c \)
a2-Streckungsfaktor (Formfaktor) \( \mid \begin{array}{l}2>0 \text { Parabel nach oben offen,Minimum vorhanden }\end{array} \) a2 \( <0 \) Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden \( a 2>1 \) Parabel gestreckt,oben schmal \( 0<a 2<1 \) Parabel gestaucht,oben breit
$$ \mathrm{f}(x)=a 2^{*} x^{2}+a 1^{* x+a 0} \frac{H e r l e i t u n g \mathrm{xs} \text { und } y s}{\text { nun ableiten }} $$
\( f^{\prime}(x s)=0=2 *_{a} 2 * x s+a o \quad \) ergibt \( \left.x s m-(a 1) /(2 * a 2)\right] \) eingesetzt
$$ \begin{array}{l} y s=f(x s)=a 2 *(-a 1 /(2 * a 2))^{2}+a 1^{*}(-a 1 /(2 * a 2)+a 0 \\ y s=a 2 *(-a 1)^{2} /\left(4^{*} a 2^{2}\right)-a 1^{2} /(2 * a 2)+a 0 \\ y s-1 / 4^{*} a 1^{2} / a 2^{2}-2 / 4 * a 1^{2} / a 2+a 0 \end{array} $$
\( y s=-(a 1)^{2} /\left(4^{*} a 2\right)+a q \)
Hinveis:Der Scheitelpunkt Ps(xs/ys) ist ein Extrempunkt Maximum oder Minimum !
Lösbarkeitsregeln für die p-q-Forme1
$$ \text { Diskriminate } \left.\mathrm{D}=(\mathrm{p} / 2)^{2}-\mathrm{t}\right\}\left\{\begin{array}{l} >02 \text { reelle verschiedene Lösungen } \\ =02 \text { gleiche reelle Lösungen } \\ <02 \text { konjugiert komplexe Lösungen } \end{array}\right. $$
~plot~1*x^2+1*x+2;[[-10|10|-10|]]~plot~
