Extremalwertprobleme Einzäunung eines Bereiches mit einer fehlenden Seite

Question

Aufgabe:

Stellen Sie die Hauptbedingung die Neben Bedingung und die Zielfunktion für das folgende dargestellte Extremalwertproblem auf und vereinfachen sie ihre Zielfunktion dabei so weit wie möglich.

Ein Hirte möchte für seine Schafe an einem Fluss eine recht eckige Weide mit einem 200 m langen Elektrozaun abstecken.

Wie muss er die Maße wählen, damit die Tiere möglichst viel Platz haben ?

Das Wasser stellt eine natürliche Grenze da und somit verläuft dort kein Zaun.

Mein Ansatz dazu :

gesucht : Maximum

Hauptbedingung : A = a * 1/2 b

Kann das so stimmen mit der Hauptbedingung, denn es fehlt durch den Fluss ja eine Seite b ?

Nebenbedingung : 200m = 2* a + b

Wie verfahre ich jetzt weiter, um die Zielfunktion aufstellen zu können ?

Dankeschön <3

Answer 1

damit die Tiere möglichst viel Platz haben ?

Der Flächeninhalt der Weide soll möglichst groß sein.

eine recht eckige Weide

Die Weide ist rechteckig. Hauptbedingung ist Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks

        \(A = a\cdot b\).

es fehlt durch den Fluss ja eine Seite b ?

Das ändert nichts daran, dass der Flächeninhalt eines Rechtecks möglichst groß sein soll.

Nebenbedingung : 200m = 2* a + b

Richtig. Hier kommt zum tragen, dass eine Seite des Rechtecks nicht gezäunt werden muss, nicht in der Hauptbedingung.

Wie verfahre ich jetzt weiter, um die Zielfunktion aufstellen zu können ?

Nebenbedingung nach einer Variable umformen und in die Hauptbedingung einsetzen.