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Die Tragfähigkeit eines Balkens hängt von der Form seines Querschnitts ab.

Die Tragfähigkeit T wird berechnet nach der Formel

T=k*b*h^2, wobei k eine Materialkonstante, b die Breite und h die Höhe des Balkens ist. Für den vorliegenden Eichenstamm gilt k = 1/6.


Ein Balken wird aus einem 30cm dicken Eichenstamm m8it kreisförmigen Querschnitt (Radius r) angefertig. Wie sind die Maße zu wählen, damit seine Tragfähigkeit möglichst groß wird.

20180429_230721.jpg

Wie ich die Aufgabe versucht habe:

1) Hauptbedingung: T(b,h) = (1/6) * b * h^2

2) Nebenbedingung: (b^2+h^2)^{1/2} = 30cm | ()^2

b^2 + h^2 = 900 | - b^2

h^2 = 900 - b^2

3) Zielfunktion bilden: T(b) = (1/6) * b * (900 - b^2)

T(b) = (1/6) * 900b - b^3

T(b) = 150b - b^3

4) Extremwerte finden:

T '(b) = -3b^2 + 150 = 0

T ''(b) = -6b

abc-Formel:

b1 = 7,071

b2 = -7,071

T''(7,071) = -6*7,071 = -42,426 (Hochpunkt)

5) Unbekannte bestimmen:

h^2 = 900 - 7,071^2 = 850 | Wurzel

h = 29,155

6) Ergebnis:

T = (1/6) * 7,071 * 29,155^2 = 1001,742


Stimmt das soweit?

von

Bei 3) ist dir beim ausmultiplizieren ein Fehler unterlaufen. Du musst auch das b^2 mit 1/6 multipliziern.

1 Antwort

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NB

b^2 + h^2 = 30^2 --> h^2 = 900 - b^2

HB

T = k·b·h^2 = 1/6·b·(900 - b^2) = 150·b - 1/6·b^3

T' = 150 - 1/2·b^2 = 0 --> b = √300 = 17.32 cm

h = √600 = 24.49 cm

von 388 k 🚀

Da hätte ich mir einige Schritte wirklich sparen können. Und das ich nur b mit den Klammern multipliziert habe, war nicht gut von mir.

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