Ist f injektiv, surjektiv, bijektiv? mit komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Sei $f: \mathbb{C} \backslash\{1-\mathrm{i}\} \rightarrow \mathbb{C}: z \mapsto \frac{3 z-2+3 \mathrm{i}}{z-1+\mathrm{i}} .$ Ist $f$ injektiv, surjektiv, bijektiv?

Answer 1

Aloha :)

Definitionsmenge ist $D\coloneqq\mathbb C\setminus\{1-i\}$.

Wertemenge ist $W\coloneqq\mathbb C$.

Den Funktionsterm bauen wir etwas handlicher um:$$z=\frac{3z-2+3i}{z-1+i}=\frac{3z-3+3i+1}{z-1+i}=\frac{3(z-1+i)}{z-1+i}+\frac{1}{z-1+i}=3+\frac{1}{z-1+i}$$

1) Injektivität:

Wir prüfen auf Injektivität und nehmen dazu an, es gebe 2 Werte $a,b$ aus der Definitionsmenge $D$ mit demselben Bild:$$f(a)=f(b)\implies3+\frac{1}{a-1+i}=3+\frac{1}{b-1+i}\implies\frac{1}{a-1+i}=\frac{1}{b-1+i}\implies$$$$a-1+i=b-1+i\implies a=b$$Es gibt also keine zwei verschiedenen Argumente mit demselben Bild, die Funktion ist injektiv.

2) Surjektivität:

Wir müssen zeigen, dass jedes Element der Wertemenge mindestens einmal erreicht wird. Der Wert $w=3$ gehört zur Wertemenge. Wir prüfen, ob es ein $z$ aus der Definitionsmenge gibt, das auf $w=3$ abbildet:$$3\stackrel?=3+\frac{1}{z-1+i}\implies 0\stackrel?=\frac{1}{z-1+i}\implies 0\stackrel?=1\quad\text{Widerspruch}$$Das Element $3$ der Wertemenge wird also nie erreicht. Die Funktion ist nicht surjektiv.

3) Bijektivität:

Da die Funktion nicht surjektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.

Comments

Hallo Tschakabumba,

danke für deine tollen Antworten!

Die Injektivität habe ich sogar schon selbst hinbekommen.Aber gut zum Vergleichen;)

Bei der Subjektivität verstehe ich den Ansatz schon, aber ich konnte nicht ganz folgen. Warum folgt daraus immer 0? und woher kommt die 1? Es fehlen für mich vlt. zu viele Zwischenschritte. Oder ich sehs einfach nicht... Sorry

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Text erkannt:

$=\frac{3(z-1+i)}{z-1+i}+\frac{1}{z-1+i}=3$

Warum ist das 3 und nicht 4?

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Wenn du die Gleichung:$$0\stackrel?=\frac{1}{z-1+i}$$nach $z$ umstellen willst, musst du beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner multiplizieren:$$0\cdot(z-1+i)\stackrel?=\frac{1}{z-1+i}\cdot(z-1+i)$$Auf der linken Seite erhalten wir $0$, auf der rechten Seite erhalten wir $1$, also$$0\stackrel?=1$$Da diese Gleichung immer falsch ist, gibt es keine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wir können also kein $z$ finden, für das $f(z)=3$ gilt. Daher wird der Wert $3$ aus der Zielmenge nie erreicht.

In dem ersten Bruch von$$\frac{3\cdot(z-1+i)}{z-1+i}+\frac{1}{z-1+i}$$kannst du Zähler und Nenner kürzen:$$\frac{3\cdot\cancel{(z-1+i)}}{\cancel{z-1+i}}+\frac{1}{z-1+i}=3+\frac{1}{z-1+i}$$

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Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast, es mir nochmal zu erklären.Habs jetzt verstanden:)