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Aufgabe:

Sei f : C\{1i}C : z3z2+3iz1+i. f: \mathbb{C} \backslash\{1-\mathrm{i}\} \rightarrow \mathbb{C}: z \mapsto \frac{3 z-2+3 \mathrm{i}}{z-1+\mathrm{i}} . Ist f f injektiv, surjektiv, bijektiv?

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Aloha :)

Definitionsmenge ist DC{1i}D\coloneqq\mathbb C\setminus\{1-i\}.

Wertemenge ist WCW\coloneqq\mathbb C.

Den Funktionsterm bauen wir etwas handlicher um:z=3z2+3iz1+i=3z3+3i+1z1+i=3(z1+i)z1+i+1z1+i=3+1z1+iz=\frac{3z-2+3i}{z-1+i}=\frac{3z-3+3i+1}{z-1+i}=\frac{3(z-1+i)}{z-1+i}+\frac{1}{z-1+i}=3+\frac{1}{z-1+i}

1) Injektivität:

Wir prüfen auf Injektivität und nehmen dazu an, es gebe 2 Werte a,ba,b aus der Definitionsmenge DD mit demselben Bild:f(a)=f(b)    3+1a1+i=3+1b1+i    1a1+i=1b1+i    f(a)=f(b)\implies3+\frac{1}{a-1+i}=3+\frac{1}{b-1+i}\implies\frac{1}{a-1+i}=\frac{1}{b-1+i}\impliesa1+i=b1+i    a=ba-1+i=b-1+i\implies a=bEs gibt also keine zwei verschiedenen Argumente mit demselben Bild, die Funktion ist injektiv.

2) Surjektivität:

Wir müssen zeigen, dass jedes Element der Wertemenge mindestens einmal erreicht wird. Der Wert w=3w=3 gehört zur Wertemenge. Wir prüfen, ob es ein zz aus der Definitionsmenge gibt, das auf w=3w=3 abbildet:3=?3+1z1+i    0=?1z1+i    0=?1Widerspruch3\stackrel?=3+\frac{1}{z-1+i}\implies 0\stackrel?=\frac{1}{z-1+i}\implies 0\stackrel?=1\quad\text{Widerspruch}Das Element 33 der Wertemenge wird also nie erreicht. Die Funktion ist nicht surjektiv.

3) Bijektivität:

Da die Funktion nicht surjektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.

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Hallo Tschakabumba,

danke für deine tollen Antworten!

Die Injektivität habe ich sogar schon selbst hinbekommen.Aber gut zum Vergleichen;)

Bei der Subjektivität verstehe ich den Ansatz schon, aber ich konnte nicht ganz folgen. Warum folgt daraus immer 0? und woher kommt die 1? Es fehlen für mich vlt. zu viele Zwischenschritte. Oder ich sehs einfach nicht... Sorry

Text erkannt:

=3(z1+i)z1+i+1z1+i=3 =\frac{3(z-1+i)}{z-1+i}+\frac{1}{z-1+i}=3


Warum ist das 3 und nicht 4?

Wenn du die Gleichung:0=?1z1+i0\stackrel?=\frac{1}{z-1+i}nach zz umstellen willst, musst du beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner multiplizieren:0(z1+i)=?1z1+i(z1+i)0\cdot(z-1+i)\stackrel?=\frac{1}{z-1+i}\cdot(z-1+i)Auf der linken Seite erhalten wir 00, auf der rechten Seite erhalten wir 11, also0=?10\stackrel?=1Da diese Gleichung immer falsch ist, gibt es keine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wir können also kein zz finden, für das f(z)=3f(z)=3 gilt. Daher wird der Wert 33 aus der Zielmenge nie erreicht.


In dem ersten Bruch von3(z1+i)z1+i+1z1+i\frac{3\cdot(z-1+i)}{z-1+i}+\frac{1}{z-1+i}kannst du Zähler und Nenner kürzen:3(z1+i)z1+i+1z1+i=3+1z1+i\frac{3\cdot\cancel{(z-1+i)}}{\cancel{z-1+i}}+\frac{1}{z-1+i}=3+\frac{1}{z-1+i}

Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast, es mir nochmal zu erklären.Habs jetzt verstanden:)

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