Krümmung Torsion invariant unter euklidischer Bewegung

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 2.3: Krümmung, Torsion, begleitendes Dreibein (2 + 2 Punkte)
a) Berechnen Sie Krümmung, Torsion und das begleitende Dreibein der Kurve
$$\gamma(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \sin t, e^{t}\right)^{\top}$$
b) Zeigen Sie, dass die Krümmung und die Torsion invariant unter euklidischen Bewegungen sind, d.h. für eine reguläre Kurve und eine euklidische Bewegung $E: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, E(x)=A x+c$ mit $A^{-1}=A^{T}$, $\operatorname{det} A=1$ stimmen die Krümmung und Torsion von $b \circ \gamma$ und $\gamma$ überein. Hinweis: Nach Präsenzaufgabe 1.1. gilt $\|A u \times A v\|=\|u \times v\|$ für $A$ orthogonal und $u, v \in \mathbb{R}^{3}$.

Problem/Ansatz:

aufgabe a haben wir, leider wisen wir nicht wie wir aufgabe b machen sollen... wir haben freitag abgabe und wären sehr dankbar für eine Lösung

Liebe grüße

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Was ist denn $b$?

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Bei b handelt es sich um einen Tippfehler. Richtig wäre E an dieser Stelle.

Answer 1

Hallo,

da im Hinweis auf das Kreuzprodukt angespielt wird, gehe ich davon aus, dass ihr für reguläre Kurven im $\mathbb{R}^3$ die Krümmung charakterisiert habt als:$$\kappa_\gamma(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}$$ Zu zeigen ist nun, dass Krümmung invariant unter euklidischen Bewegungen (dargestellt durch die affine Abbildung $E: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, x\mapsto Ax+c$, wobei $A\in \operatorname{SO}(3)$ und $c\in \mathbb{R}^3$) ist, d. h. $\kappa_\gamma(t)=\kappa_{E\circ \gamma}(t)$. Da wir die erste und zweite Ableitung von $E\circ \gamma$ brauchen, ist die mehrdimensionale Kettenregel hilfreich:Es gilt $E'(t)=A\gamma'(t)$ und $E''(t)=A\gamma''(t)$.

Also:$$\kappa_{E\circ \gamma}(t)=\frac{||(A\gamma'(t))\times (A\gamma''(t))||}{||A\gamma'(t)||^3}\overset{(*)}=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|y'(t)|^3}=\kappa_{\gamma}(t)$$ In $(*)$ verwende ich einerseits den Hinweis, der dir geben wurde und darüber hinaus die Längentreue orthogonaler Matrizen.

Die Invarianz der Torsion $\tau(t)=\frac{(\gamma'(t)\times \gamma''(t))\cdot \gamma'''(t)}{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|^2}$ bzgl. euklidischer Bewegung lässt sich auch nach dem Schema zeigen.

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