Krümmung und Torsion einer Kurve sind reparametrisierungsinvariant

Question

Sei \( \vec{r}: I \mapsto \mathbb{R}^{3} \) eine reguläre (nicht notwendigerweise nach Bogenlänge) parametrisierte Kurve. Zeigen Sie, dass die Krümmung \( \kappa \) sowie die Torsion \( \tau \), die durch die Formeln

$$ \kappa(t):=\frac{|\dot{\vec{r}(t)} \times \ddot{\vec{r}(t)|}}{|\dot{\vec{r}(t)}|^{3}}, \tau(t):=\frac{\operatorname{det}\dot{(\vec{r}(t)} \ddot{\vec{r}}(t) \stackrel{...}{\vec{r}}(t))}{|\dot{\vec{r}(t)} \times \ddot{\vec{r}(t)}|^{2}}=\frac{\dot{(\vec{r}(t)} \times \ddot{\vec{r}}(t)) \cdot \stackrel{...}{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}(t)} \times \ddot{\vec{r}(t)}|^{2}} $$

gegeben sind, reparametrisierungsinvariant sind, d.h. \( \tilde{\kappa(\tilde{t})}=\kappa(t), \tilde{\tau(\tilde{t})}=\tau(t) \)

Answer 1

Aloha :)

Wir reparametrisieren \(\vec r(t)=\vec r(s(t))\). Wenn wir nicht die Differentialschreibweise verwenden, bedeutetet "Punkt" Ableitung nach \(t\) und Strich Ableitung nach \(s\). Ziel ist es, dass am Ende \(\vec r\) nur Strich-Ableitungen trägt und \(s\) nur Punkt-Ableitungen, daher hilft mir die Unterscheidung, mich nicht zu verfummeln.

$$\dot{\vec r}(s(t))=\frac{d\vec r}{dt}=\frac{d\vec r}{ds}\,\frac{ds}{dt}=\vec r\,'\,\dot s$$$$\ddot{\vec r}(s(t))=\frac{d\dot{\vec r}}{dt}=\frac{d(\vec r\,'\,\dot s)}{dt}=\frac{d\vec r\,'}{ds}\,\frac{ds}{dt}\,\dot s+\vec r\,'\,\frac{d\dot s}{dt}=\vec r\,''\dot s^2+\vec r\,'\ddot s$$$$\stackrel{...}{\vec r}(s(t))=\frac{d\ddot{\vec r}}{dt}=\frac{d(\vec r\,''\dot s^2+\vec r\,'\ddot s)}{dt}=\frac{d\vec r\,''}{ds}\,\frac{ds}{dt}\,\dot s^2+\vec r\,''\,\frac{d\dot s^2}{dt}+\frac{d\vec r\,'}{ds}\,\frac{ds}{dt}\,\ddot s+\vec r\,'\,\frac{d\ddot s}{dt}$$$$\phantom{\stackrel{...}{\vec r}(s(t))}=\vec r\,'''\,\dot s^3+2\,\vec r\,''\dot s\ddot s+\vec r\,''\dot s\ddot s+\vec r\,'\stackrel{...}s=\vec r\,'''\,\dot s^3+3\,\vec r\,''\dot s\ddot s+\vec r\,'\stackrel{...} s$$Damit prüfen wir die Krümmung:

$$\kappa=\frac{\left|\dot{\vec r}\times\ddot{\vec r}\right|}{\left|\dot{\vec r}\right|^3}=\frac{\left|(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2+\vec r\,'\ddot s)\right|}{\left|\vec r\,'\,\dot s\right|^3}=\frac{\left|(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)+(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,'\ddot s)\right|}{\left|\vec r\,'\,\dot s\right|^3}$$$$\phantom{\kappa}\stackrel{(*)}{=}\frac{\left|(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)\right|}{\left|\vec r\,'\,\dot s\right|^3}=\frac{\left|\dot s^3\right|\,\left|(\vec r\,')\times(\vec r\,'')\right|}{\left|\dot s^3\right|\,\left|\vec r\,'\right|^3}=\frac{\left|(\vec r\,')\times(\vec r\,'')\right|}{\left|\vec r\,'\right|^3}\quad\checkmark$$(*) Das Vektorprodukt von 2 kollinearen Vektoren ist \(\vec 0\).

$$\tau=\frac{\left(\dot{\vec r}\times\ddot{\vec r}\right)\stackrel{...}{\vec r}}{\left|\dot{\vec r}\times\ddot{\vec r}\right|^2}\stackrel{s.o}{=}\frac{\left((\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)\right)}{\left|(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)\right|^2}\left(\vec r\,'''\,\dot s^3+3\,\vec r\,''\dot s\ddot s+\vec r\,'\stackrel{...} s\right)$$$$\phantom{\tau}\stackrel{(**)}{=}\frac{\left((\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)\right)}{\left|(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)\right|^2}\left(\vec r\,'''\,\dot s^3\right)=\frac{\dot s^6\left(\vec r\,'\times\vec r\,''\right)\,\vec r\,'''}{\left|\dot s^6\right|\,\left|\vec r\,'\times\vec r\,'\right|^2}=\frac{\left(\vec r\,'\times\vec r\,''\right)\,\vec r\,'''}{\left|\vec r\,'\times\vec r\,''\right|^2}\quad\checkmark$$(**) Das Vektorprodukt steht auf seinen beiden Vektoren senkrecht. Daher ist das Skalarprodukt mit \(\vec r\,''\) und \(\vec r\,'\) gleich Null.

Comments

Hast du eigentlich eine "Latex-Tastatur"? Ich finde es unglaublich, mit welch einer Ausführlichkeit und in welchem Tempo du deine Antworten immer schreibst.

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Ich habe eine ganz normale Tastatur. Ich überlege mir den nächsten Rechenschritt, während ich im Unterbewusstsein tippe. Das ist so ähnlich wie Auto fahren oder mit der Hand schreiben. Man macht bzw. denkt irgendwas ganz anderes und die Motorik funktioniert von alleine.

Die Ausführlichkeit finde ich wichtig, um die Zusammenhänge wirklich verständlich zu machen. 

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Du schreibst, während du Auto fährst? OK, dem möchte ich nicht nacheifern ;-)

Das würde mich aber auch nicht weiterbringen, weil ich dafür zu wenig fahre.

Die Ausführlichkeit finde ich wichtig, um die Zusammenhänge wirklich verständlich zu machen

Das habe ich deiner Diskussion mit lul (?) entnommen. Unabhängig davon bin ich von der Form und der Ausführlichkeit deiner Antworten immer wieder beeindruckt.

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Kennst du das nicht, wenn man im Auto unterwegs ist und über die Telefonanlage mit jemandem telefoniert? Oder wenn man mit der Regierung (=Ehefrau) einkaufen fährt und über alles Mögliche redet? Da denkt man doch nicht darüber nach, dass man jetzt die Kupplung langsam kommen lassen muss... also ich zumindest nicht.

Danke dir für das schöne Feedback ;)

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Vielen Dank!