Verständnisfragen zu Polynomen

Question

Aufgabe:

In dieser Aufgabe ist immer von Polynomen aus K[X] die Rede, wobei K ein beliebiger Körper ist.
Bestimmen Sie den Wahrheitswert für jede der folgenden Aussagen.

1) Die Summe zweier Polynome vom Grad n hat auch den Grad n.
2) Für f,g∈K[X] mit degf=n und degg=m hat das Produkt f⋅g den Grad n+m.
3) Die Menge aller Polynome in K[X] vom Grad <n ist ein K-Vektorraum der Dimension n mit Basis {X0=1,X1=X,X2,…,Xn−1}.
4) Zwei Polynome f=∑iaiXi und g=∑ibiXi sind genau dann identisch, wenn alle Koeffizienten übereinstimmen: ai=bi für alle i.

Problem/Ansatz:

1) falsch, kann kleiner werden

2) richtig

3) ?

4) richtig

Answer 1

Hallo

dimension: da man um ein Polynom <n ten Grades darzustellen Koeffizienten von a₀ bis a_n-1 braucht, ist der VR n dimensional, z. b. kann man die Basis  a,x,x^2,...,x^n-1 benutzen um aus der Linearkombination jedes Polynom vom Grade <=n-1 zu kombinieren also jeden Vektor aus K[X] für Grad <n

Gruß lul