Aufgabe zu komplexen Zahlen / komplexen Polynomen

Question

Aufgabe:

Bemerkung. Seien \( p, q \in \mathbb{C} \). Die Gleichung
\( z^{2}+p z+q=0 \)
ist mittels quadratischer Ergänzung äquivalent zu
\( \left(z+\frac{p}{2}\right)^{2}=\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=: \Delta \in \mathbb{C} . \)

Ist \( w \in \mathbb{C} \) eine Lösung der Gleichung \( w^{2}=\Delta \), so sind \( z=-\frac{p}{2} \pm w \in \mathbb{C} \) Lösungen von (Q). Dies reduziert das Problem auf die Suche nach "Wurzeln" aus komplexen Zahlen.

Aufgabe \( 1((2+3+1)+4 \) Punkte).
(a) Sei \( \Delta \in \mathbb{C} \) mit \( \alpha:=\operatorname{Re}(\Delta) \) und \( \beta:=\operatorname{Im}(\Delta) \). Zeigen Sie:
(i) Es gilt \( |\Delta| \geq \alpha \). Wann gilt die Gleichheit?
(ii) Im Fall \( |\Delta|>\alpha \) wird \( w^{2}=\Delta \) gelöst von \( w:=\frac{\beta}{\sqrt{2(|\Delta|-\alpha)}}+\mathrm{i} \sqrt{\frac{1}{2}(|\Delta|-\alpha)} \).
(iii) Was sind die Lösungen von \( w^{2}=\Delta \) im Fall \( |\Delta|=\alpha \) ?
Sie dürfen verwenden, dass \( w^{2}=\Delta \) höchstens zwei verschiedene Lösungen \( w \in \mathbb{C} \) besitzt.
(b) Benutzen Sie Teil (a), um alle vier komplexen Lösungen der Gleichung \( z^{4}=-1 \mathrm{zu} \) bestimmen.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

zugegebenermaßen bin ich bereits etwas erschlagen von der Art, wie die Aufgabe gestellt ist.

Bei der (a)(i) bin ich folgendermaßen vorgegangen:

\( |\Delta| \geq \alpha \) ⇔ \( \sqrt{Re(\Delta)² + Im(\Delta)²} \) ≥ Re (\Delta)

gilt, weil Im(\Delta)² durch das Quadrat immer positiv ist. Die Gleichheit gilt, wenn Im(\Delta) = 0, denn damit erhält man

|\Delta| = \( \sqrt{Re(\Delta)²} \) = Re(Delta) = α.

Nun weiß ich nicht, wie ich bei den anderen Teilaufgaben weiter vorgehen soll. Bei (a)(iii) hat die Lösung ja keinen Imaginärteil. Aber es kann ja nicht sein, dass die beiden Lösungen dann einfach  \( w:= plus/minus \frac{\beta}{\sqrt{2(|\Delta|-\alpha)}} \) sind, oder?

Ich denke, ich könnte die b) hinbekommen, wenn ich die (a) gelöst habe. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte.

Dankeschön und LG

Comments

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Du scheinst ja LaTeX zu beherrschen, dann schreib es mal so, dass es leicht lesbar ist. Und noch ein Tipp: plus/minus ist \pm.

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Ich glaube, ich kann meine Frage nur 30 min nach stellen bearbeiten, deswegen so:

Meine Lösung zur (a)(i):

\( \begin{array}{l} |\Delta|=\sqrt{\left(\operatorname{Re}(\Delta)^{2}+\ln (\Delta)^{2}\right.}, \alpha=\operatorname{Re}(\Delta) \\ \Rightarrow \sqrt{\left(\operatorname{Re}(\Delta)^{2}+\ln (\Delta)^{2}\right.} \geq \operatorname{Re}(\Delta) \end{array} \)
gilt, da \( \operatorname{lm}(\Delta)^{2} \) durch das Quadrat immer positiv ist.
Die Gleichheit gilt dann, wenn \( \operatorname{lm}(\Delta)=0 \) ist:
\( \begin{aligned} |\Delta| & =\sqrt{\left(\operatorname{Re}(\Delta)^{2}+\operatorname{lm}(\Delta)^{2}\right.}=\sqrt{\left(\operatorname{Re}(\Delta)^{2}+0^{2}\right.} \\ & =\sqrt{\operatorname{Re}(\Delta)^{2}}=\operatorname{Re}(\Delta)=\alpha \end{aligned} \)

Der Rest ist exakt so geschrieben wie in der Aufgabenstellung.

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Hallo,

der natürliche Logarithmus soll vermutlich der Imaginärteil sein.

gilt, da \( \operatorname{Im}(\Delta)^{2} \) durch das Quadrat immer positiv

oder gleich Null ist.

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Ups, ja. Danke für die Korrektur.

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Du brauchst doch nur die Probe zu machen und w^2 berechnen und prüfen ob dies gleich Delta ist.

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Irgenwie fehlt bei mir der Realteil:

\( |\Delta|>\alpha \Rightarrow \Delta \) hat eiren Imaginärteil \( \neq 0 \)
\( \begin{aligned} \Rightarrow & \Delta=\alpha+i \beta \text {,also } \omega^{2} \stackrel{!}{=} \alpha+i \beta \\ & \left(\frac{\beta}{\sqrt{2(|\Delta|-\alpha)}}+i \cdot \sqrt{\frac{1}{2}(|\Delta|-\alpha)}\right)^{2} \\ = & \frac{\beta^{2}}{2(|\Delta|-\alpha)}+2 i \frac{\beta \sqrt{\frac{1}{2}(|\Delta|-\alpha)}}{\sqrt{2(|\Delta|-\alpha)}}+i^{2} \cdot \frac{1}{2}(|\Delta|-\alpha) \\ = & \frac{\beta^{2}}{2(|\Delta|-\alpha)}+2 i \cdot \beta \cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2}(|\Delta|-\alpha) \\ = & \frac{\beta^{2}}{2(|\Delta|-\alpha)}+i \beta-\frac{1}{2}(|\Delta|-\alpha) \\ = & \frac{\beta^{2}}{2\left(\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}-\alpha\right)}+i \beta-\frac{1}{2}\left(\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}-\alpha\right) \\ = & \frac{1}{2}\left(\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}+\alpha+i \beta-\frac{1}{2}\left(\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}-\alpha\right)\right. \\ = & i \beta \end{aligned} \)

Was habe ich falsch gemacht?

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Im letzten Schritt scheint ein Vorzeichenfehler vorzuliegen. \(\frac12\alpha-\frac12(-\alpha)=\alpha\).

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Super, Dankeschön, dann wäre die (ii) hiermit auch gelöst. :)

Weiß noch jemand etwas zur (iii)? Wenn der Betrag von Delta = α ist besitzt Delta ja keinen Realteil. Sind die beiden Lösungen dann \( w:=\pm\mathrm{i} \sqrt{\frac{1}{2}(|\Delta|-\alpha)} \) (aus (ii))?

Wobei da ja wieder α = Re(Delta) auftaucht.