Wieso kann es sich bei sin und cos nicht um Polynome handeln?

Question

Wie kann ich das zeigen, dass es sich bei Sinus und Cosinus nicht um Polynome handeln kann?

Comments

Ein Polynom hat höchstens endlich viele Nullstellen.

---

Ein Polynom divergiert für \(x\to\pm\infty\) bestimmt gegen \(\pm\infty\).

---

Nach der Begründung zu fragen, ist eine sehr gute Frage!

Ich kann dir nur sagen, dass du zur Darstellung der Sinusfunktion eine Taylorreihe nutzen musst (gilt diese als Polynom?):

$$ \begin{aligned} \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \text{für alle} \ x\\ \sin(x) \approx x                                                              \text{für} \ \left| x \right| \ll \frac{\pi}{2}\\ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots     \text{für alle} \ x\\ \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}                                              \text{für} \ \left| x \right| \ll \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

---

Aber warum wird dann die taylorreihe auch das taylorpolynom genannt das stünde doch im wiederspruch mit "kein polynom"?

Answer 1

Zwei ganz wichtige Begründungen wurden hier ja schon genannt.

Ein Polynom n. Grades hat maximal n Nullstellen. Die Sinus bzw. die Kosinusfunktion haben unendlich viele Nullstellen. Daher würde nur ein Polynom unendlichen Grades infrage kommen.

Ein Polynom divergiert für sehr kleine und sehr große x gegen plus oder minus Unendlich. Die Sinus und die Kosinusfunktion bleiben aber immer im Bereich von -1 bis 1.