Verhältnis zwischen 3 Variablem bestimmen in einer Zahlenfolge

Question

Aufgabe:

Für die Glieder einer Folge gilt:

\( a_{n}=\frac{\alpha n+\beta}{\gamma n^{2}} \)

Text erkannt:

\( a_{n}=\frac{\alpha n+\beta}{\gamma n^{2}} \)

Man bestimme die Zahlen a, ß, y so, dass gilt:

\( a_{1}=1, a_{2}=\frac{5}{8}, a_{3}=\frac{4}{9} \)

Text erkannt:

\( a_{1}=1, a_{2}=\frac{5}{8}, a_{3}=\frac{4}{9} \)

Problem/Ansatz:

Wie geht man bei einer solchen Aufgabe vor?

Answer 1

Setze 1; 2 und 3 für n ein. Du bekommst 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Statt der griechischen Buchstaben schreibe ich a, b und c.

n=1: c=a+b

n=2: 2,5c=2a+b

n=3: 4c=3a+b

---------

(2)-(1):   1,5c=a

(1): -0,5c=b

Einsetzen in die Gleichungen liefert keine neuen Informationen.

Daher lege ich eine Variable fest: c=2.

-->  a=3, b=-1

a_n=(3n-1)/(2n^2)

Probe

a_1=2/2=1

a_2=5/8

a_3=8/18=4/9

:-)

PS

Dass es keine eindeutigen Werte für a, b und c geben kann, ist logisch, da man ja durch einen gemeinsamen Faktor kürzen könnte.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort MontyPython,

also was du gemacht hast kann ich nachvollziehen. Aber ich wäre niemals von alleine darauf gekommen so vorzugehen. Ist das eine Art Standard-Vorgehen um solche Aufgaben zu lösen?

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Naja, ich habe versucht, logisch zu denken.

Und wenn drei Bedingungen für drei Variablen gegeben sind, bietet sich der Rechenweg so an.

:-)