Wie lautet der Grenzwert der Zahlenfolge: an = (-3n²)+(4n)-(7) / (n²)

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Wie lautet der Grenzwert der Zahlenfolge: an = (-3n²)+(4n)-(7) / (n²)

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der Grenzwert berechnet sich wie folgt:

$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-3n^2 + 4n - 7}{n^2} $

$ = - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3n^2 }{n^2} + \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4n}{n^2} - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{7}{n^2} $

$ = - \lim_{n \rightarrow \infty} 3 + \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n} - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{7}{n^2} $

$ = - 3 + 0 - 0 = - 3 $.

Für welches $ N $ gilt für alle $ n \geq N $

$ \left| - 3 - \frac{-3n^2 + 4n - 7}{n^2} \right| < \frac{1}{1000} $?

$ \left| \frac{4}{n} - \frac{7}{n^2} \right| < \frac{1}{1000} $,

$ 0 < n^2 - 4000n + 7000 $.

Die rechte Seite hat gemäß p-q-Formel zwei Nullstellen: $ n_1 = 3998,24... $ und $ n_2 = 1,75... $.

Die erste Nullstelle ist offenbar relevant und die nach oben offende Parabel in $ n $ ist größer 0 für alle $ n > 3998,24 $. Da aber $ n $ in der Zahlenfolge ganzzahlig ist, runden wir auf und die Antwort lautet:

$ N = 3999 $.

MfG

Mister

Beantwortet 7 Okt 2013 von Mister

ich habe mir das erstmal angeschaut und weiß eigentlich auch wie das geht. Ich finde nur halt, dass diese Aufgabe sehr schwer ist.

Ich zeige den Vorgang jetzt nochmal an einer leichteren Aufgabe:

$$ an=\quad 1-\frac { 1 }{ n } $$

1. Grenzwertvermutung: g=1 (würde gerne wissen wie man das mit einem Blick erkennt) hier erkennt man es ja ganz leicht:

$$ an=\quad \frac { n+1 }{ 2n } $$
$$ g=\quad \frac { 1 }{ 2 } $$

2. Nun wieder zur Aufgabe zurück:

$$ \left| { a }_{ n }-g \right| \quad <\quad \epsilon $$

Nun einsetzen:

$$ \left| 1-\frac { 1 }{ n } -1 \right| \quad <\quad \epsilon $$

$$ \left| -\frac { 1 }{ n } \right| \quad <\quad \epsilon $$ $$ | \times n$$

$$ 1\quad <\quad \epsilon \quad \times\quad n $$ $$ | : \epsilon $$

$$ \frac { 1 }{ \epsilon } \quad <\quad n\quad \quad \quad \quad \quad ->\quad w.\quad A.,\quad weil\quad es\quad immer\quad ein\quad größeres\quad n\quad gibt $$

1 ist der Grenzwert der Zahlenfolge $${ lim }_{ n-\infty }\quad ( 1-\frac { 1 }{ n })=\quad 1$$

3. Ab welchem Index befinden sich alle Zahlenfolgeglieder in der Epsilonumgebung von g=1, wenn

$$ \epsilon =\frac { 1 }{ 1000 } $$ ?

$$ \left| { a }_{ n }-g \right| \quad <\quad \epsilon $$

................

→ $ \frac { 1 }{ \epsilon } \quad <\quad n $ ( wie oben)
nun: $ | \epsilon =\frac { 1 }{ 1000 } $ (Kehrwehrt bilden)

und es kommt heraus: $$ \frac { (1)\times 1000 }{ 1 } $$

A: Ab dem 1001. Zahlenfolgeglied liegen alle weiteren in der Umgebung.

Ich finde das so ganz einfach nur ich kann immer noch nichts mit der schweren Aufgabe anfangen, weilc ich sie nicht in dieses Schema einordnen kann.

(macht echt Spaß mit dem Formeleditor zu arbeiten)

Kommentiert 9 Okt 2013 von Fragensteller

Also ich habe die Variante aus dem Video genommen und fand diese auch viel einfacher.

Deine Variante habe ich auch verstanden, weiß aber nicht wie man die bei allen Aufgaben einsetzen kann.

Ich habe ja schon bereits ein Beispiel gezeigt, wo ich nicht weiß wie dein Beispiel funktionieren würde.

$$ 1=\frac { 1 }{ n } $$

Klar, der geübte Blick erkennt sofort die 1 als Grenzwert aber wie verhält sich hier deine Rechnung?

Und noch eine Sache: Es heißt doch $$ \left| { a }_{ n }-g \right| \quad <\quad \epsilon $$

und nicht anders herum? Hast du dich verschrieben oder ist das egal?

Außerdem verstehe ich das hier nicht:

$$ \left| \frac { 4 }{ n } -\frac { 7 }{ n² } \right| \quad <\quad \frac { 1 }{ 1000 } $$

Würde das nicht heißen: Der Betrag von 0-0 ist kleiner als $$ \epsilon $$?

Ok.

Ich wollte eigentlich nur fragen ob du die Variante aus dem Video kennt, was du davon hältst und ob du dir vorstellen kannst meine Aufgabe damit zu lösen.

LG

Kommentiert 11 Okt 2013 von Fragensteller

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