Es sei \( X \) eine beliebige Menge. Zeigen Sie: Die Potenzmenge \( \mathcal{P}(X) \) ist ein Vektorraum über den trivialen Körper \( \{0,1\} \) bezüglich der Vektoraddition
$$ Y_{1}+Y_{2}:=Y_{1} \Delta Y_{2} $$
und Skalarmultiplikation
$$ 0 Y:=\emptyset, \quad 1 Y:=Y $$
[Hinweis: Die Potenzmenge \( \mathcal{P}(X) \) ist die Menge aller Teilmengen von \( X \). Die symmetrische Differenz zweier Mengen \( A \) und \( B \) ist \( A \Delta B:=(A \cup B) \backslash(A \cap B) .] \)
