Schnittgerade von Ebenen berechnen

Question

Aufgabe:

Schnittgerade von E1: x1 + 5x3 = 8 und E2: x1 +x2 +x3 = 1 berechnen.

Problem/Ansatz:

Ich habe es schon mehrfach ausgerechnet, aber die Lösung schein nie zu stimmen. Ich bin wie folgt vorgegangen:

1. LGS bilden:

1 x1 + 5x3 = 8      | x1= t | -t | : 5

2 x1 +x2 +x3 = 1  | x1 =t

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1 x3 = \( \frac{8-t}{5} \)

2 t + x2 +x3 = 1  | x3 einsetzen

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2 t + x2 + \( \frac{8-t}{5} \) =1   | nenner von t erweitern

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2 \( \frac{5t}{5} \) + x2 + \( \frac{8-t}{5} \) = 1   | vereinfachen

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2 \( \frac{8+4t}{5} \) + x2 = 1 | - \( \frac{8+4t}{5} \)

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2 x2 = - \( \frac{8+4t}{5} \)

Ergebnis: g: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} t\\- \frac{8+4t}{5} \\ \frac{8-t}{5}  \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\\frac{-8}{5}\\\frac{8}{5}\end{pmatrix} \) + t * \( \begin{pmatrix} 1\\\frac{4}{5}\\-\frac{1}{5}\end{pmatrix} \)

Aber in den Lösungen kommt folgende Schnittgerade heraus:

g: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} \frac{-17}{7}\\\frac{13}{7}\\8 \end{pmatrix} \) + t * \( \begin{pmatrix} 6\\-2\\7 \end{pmatrix} \)

Kann mir jemand sagen wo da der Fehler liegt?

Answer 1

Aloha :)

Wir schreiben \(E_1\) in die Parameterform um:$$E_1\colon x+5z=8\implies x=8-5z\implies$$$$E_1\colon \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-5z\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-5\\0\\1\end{pmatrix}\implies$$$$E_1\colon \vec x=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-5\\0\\1\end{pmatrix}$$Einsetzen in \(E_2\) liefert:$$1=x+y+z=(8-5t)+s+t=8-4t+s\implies s=4t-7$$Damit lautet die Schnittgerade:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+(4t-7)\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-5\\0\\1\end{pmatrix}\implies$$$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\-7\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-5\\0\\1\end{pmatrix}\implies$$$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}8\\-7\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-5\\4\\1\end{pmatrix}$$

Comments

könntest du das vielleicht auch für die Ebenen E1: x1 - x2 +2x3 =7 und E2: 6x1 + x2 - x3 =-7 machen? habe das glaube ich auch falsch.

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BTW

ich erhalte den Richtungsvektor (-5,9,1)