Shiftoperator Eigenschaften zeigen

Question

Wir sollen folgende Eigenschaften zeigen:

1. Die Menge der unendlichen Folgen (x0, x1, ...), xi ∈ R, ausgestattet mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation, ist ein R-Vektorraum (F).

2. Wir verkleinern F auf alle Elemente, deren Supremumsnorm f ∈ F → ||f|| =
sup_i=0,1,... |f_i| endlich ist. Es gelten nun die Normeigenschaften.
3. Die Abbildung f : F → F, (x0, x1, ...) 7→ (0, x0, x1, ...) ist Lipschitzstetig. Ist f auch
beschränkt?

Wäre sehr dankbar für eine Lösung

Comments

Hallo,

es hat ja noch niemand geantwortet. Nun, ein Vektorraum ist ja durch 7 oder 8 Axiome gekennzeichnet. Das für dieses Beispiel zu prüfen, ist simple Schreibarbeit. Am Ende habt Ihr vielleicht sogar den allgemeinen Fall von Vektorräumen aus Abbildungen schon besprochen und die Lösung ist einfach: F ist der Sonderfall aller Abbildungen \(f:\mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}\).

Also Du müsstest da schon mal sagen, welche der einzelnen Punkt Dir konkret Probleme bereiten. Ebenso bei der 2. Teilaufgabe.

Gruß Mathhilf