Aufgabe:
Sei \(f:\mathbb{R}^n\rightarrow(-\infty,\infty]\) eine Funktion. Beweisen Sie, dass \(f\) genau dann konvex ist, wenn für alle \(x,y\in\mathbb{R}^n\) die Funktion \(g(\lambda)=f(x+\lambda(y-x)),\lambda\in\mathbb{R}\) konvex ist.
Problem/Ansatz:
Definition: Eine Funktion \(f:\mathbb{R}^n\rightarrow(-\infty,\infty]\) heißt konvex, wenn \(f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)\) für alle \(x,y\in\mathbb{R}^n\) und \(\lambda\in[0,1]\) gilt.
Weiterhin weiß ich, dass das Supremum einer beliebigen Familie konvexer Funktionen, \(f+g\) und \(\alpha f\) konvex ist. Die Jensensche Ungleichung ist bekannt und ebenfalls, dass \(f\) genau dann konvex ist, wenn der Epigraph von \(f\) definiert durch \(\text{epi}f=\{(x,\xi)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}:f(x)\leq\xi\}\) eine konvexe Teilmenge von \(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\) ist.
Ich weiß aber nicht, wie mir die ganzen Sachen bei der Aufgabe helfen, da jetzt \(\lambda\in\mathbb{R}\) ist und nicht nur auf \([0,1]\) beschränkt ist. Ich würde mich zunächst über einen Ansatz für beide Richtungen freuen.
