Aloha :)
Der Betrag einer komplexen Zahl ist: \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\).
Damit erfüllen alle Punkte \((x;y)\in M\) die Bedinung: $$\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{x^2+(y+1)^2}=4$$
Um uns ein Bild von Graphen zu machen, überlegen wir uns die Schnittpunkte mit den Achsen:$$y=0\implies\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2+1}=4\implies\sqrt{x^2+1}=2\implies x^2=3\implies x=\pm\sqrt3$$$$x=0\implies|y-1|+|y+1|=4\implies y=\pm2$$
Das legt die Vermutung nahe, dass wir es mit einer Ellipse zu tun haben, deren große Halbachse \(2\) auf der \(y\)-Achse liegt und deren kleine Halbachse \(\sqrt3\) auf der \(x\)-Achse liegt:$$\boxed{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1}$$
Wir prüfen das nach, indem wir diese Ellipsengleichung nach \(x^2=3-\frac{3}{4}y^2\) umstellen und anhand der Bedinungsgleichung von \(M\) überprüfen:
$$\phantom{=}\sqrt{\left(3-\frac{3}{4}y^2\right)+(y-1)^2}+\sqrt{\left(3-\frac{3}{4}y^2\right)+(y+1)^2}$$$$=\sqrt{3-\frac{3}{4}y^2+y^2-2y+1}+\sqrt{3-\frac{3}{4}y^2+y^2+2y+1}$$$$=\sqrt{4+\frac{1}{4}y^2-2y}+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^2+2y}=\sqrt{\left(\frac{y}{2}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{y}{2}+2\right)^2}$$$$=\left|\frac{y}{2}-2\right|+\left|\frac{y}{2}+2\right|\stackrel{(-2\le y\le2)}=2-\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+2=4\quad\checkmark$$Damit beschreibt die Menge \(M\) tatsächlich den Umfang der o.g. Ellipse.
~plot~ 2*sqrt(1-x^2/3) ; -2*sqrt(1-x^2/3) ; [[-4|4|-3|3]] ~plot~
