Lineare Gleichungssysteme und Parametrisierungen

Question

Aufgabe:

A:
x + 2y + 3z = 4
5x + 6y + 7z = 8
9x + 10y + 11z = 12
B:
x + 2y + 3z = 8
5x + 6y + 7z = 16
9x + 10y + 11z = 24
• Löse die beiden linearen Gleichungssysteme und parametrisiere jeweils den Lösungsraum L.
• Finde jeweils eine lineare Parametrisierung f : R^d → R³ von L. Wie groß ist d ∈ N ?
• Wodurch unterscheiden sich die Lösungen? (Wie kann man das an den Gleichungssystemen direkt sehen?)

Comments

Hast du die GS gelöst?  l: r*v1+s*v2?

Was fehlt dir?

lul

Answer 1

1. LGS gibt mit Gauss:

1   0   -1   -2 
0   1    2    3
0   0    0    0

Aus der letzten Gleichung erkenntlich:

3.Variable beliebig, etwa   z =  t.

==> (2. Gl.)   y + 2t = 3 ==>    y = 3-2t

==>(1.Gl.)  x - t = -2  ==>   x = t -2

Also Lösungen alle von der Form

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t-2\\3-2t\\t \end{pmatrix} \)

\( =\begin{pmatrix} -2\\3\\0 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \)