Parametrisierungen von Gebieten in der komplexen Ebene.

Question

Aufgabe:

Parametrisierungen von Gebieten in der komplexen Ebene.

Problem/Ansatz:

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets
M := {(x, y) ∈ R| |x + iy − i| + |x + iy + i| = 4}.

Wie berechnet man diese Aufgabe (allgemein)?

Danke.

Answer 1

Aloha :)

Der Betrag einer komplexen Zahl ist: $|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Damit erfüllen alle Punkte $(x;y)\in M$ die Bedinung: $$\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{x^2+(y+1)^2}=4$$

Um uns ein Bild von Graphen zu machen, überlegen wir uns die Schnittpunkte mit den Achsen:$$y=0\implies\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2+1}=4\implies\sqrt{x^2+1}=2\implies x^2=3\implies x=\pm\sqrt3$$$$x=0\implies|y-1|+|y+1|=4\implies y=\pm2$$

Das legt die Vermutung nahe, dass wir es mit einer Ellipse zu tun haben, deren große Halbachse $2$ auf der $y$-Achse liegt und deren kleine Halbachse $\sqrt3$ auf der $x$-Achse liegt:$$\boxed{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1}$$

Wir prüfen das nach, indem wir diese Ellipsengleichung nach $x^2=3-\frac{3}{4}y^2$ umstellen und anhand der Bedinungsgleichung von $M$ überprüfen:

$$\phantom{=}\sqrt{\left(3-\frac{3}{4}y^2\right)+(y-1)^2}+\sqrt{\left(3-\frac{3}{4}y^2\right)+(y+1)^2}$$$$=\sqrt{3-\frac{3}{4}y^2+y^2-2y+1}+\sqrt{3-\frac{3}{4}y^2+y^2+2y+1}$$$$=\sqrt{4+\frac{1}{4}y^2-2y}+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^2+2y}=\sqrt{\left(\frac{y}{2}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{y}{2}+2\right)^2}$$$$=\left|\frac{y}{2}-2\right|+\left|\frac{y}{2}+2\right|\stackrel{(-2\le y\le2)}=2-\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+2=4\quad\checkmark$$Damit beschreibt die Menge $M$ tatsächlich den Umfang der o.g. Ellipse.

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f₁(x) = 2·√(1-x²/3)f₂(x) = -2·√(1-x²/3)Zoom: x(-4…4) y(-3…3)

Comments

Hallo,

Danke für die schnelle Antwort!

Wieso steht aber bei der Berechnung der Schnittpunkte für y=0 keine Wurzel aus y-1 und y+1,

Wenn bei der Berechnung der Schnittpunkte bei x eine Wurzel ist?

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Flächeninhalt der Ellipse ergibt dann also pi*$\sqrt{3}$*2?

Danke

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zu Frage 1: Wegen $x=0$ ist$$\sqrt{(y-1)^2}+\sqrt{(y+1)^2}=0$$Wenn wir die Wurzeln ziehen:$$|y-1|+|y+1|=0$$Daraus folgt dann $y=\pm2$.

zu Frage 2: Richtig, die Fläche einer Ellipse ist $\pi a b$, wenn $a$ und $b$ die beiden Halbachsen sind.