Zeigen Sie, dass U1 und U2 ein Unterraum von V genau dann ist ...

Question

(a) Es seien $U_{1}$ und $U_{2}$ Unterräume eines Vektorraums $V$. Zeigen Sie, dass $U_{1} \cup U_{2}$ ein Unterraum von $V$ genau dann ist, wenn $U_{1} \subseteq U_{2}$ oder $U_{2} \subseteq U_{1}$ ist.

(b) Es seien $U_{1}$ und $U_{2}$ Unterräume eines Vektorraums $V$. Zeigen Sie, dass $U_{1}+U_{2}$ ein Unterraum von $V$ ist.

Answer 1

(a) Seien $u_1\in U_1\setminus U_2$ und $u_2 \in U_2\setminus U_1$. Dann folgt aus $u_1+u_2\in U_1$ mittels $u_1+u_2\in U_1\implies -u_1+u_1+u_2\in U_1\implies u_2\in U_1$, dass $u_2\in U_1$ ist.

(b) Seien $\mathcal{B}_1$ und $\mathcal{B}_2$ Basen von $U_1$ bzw. $U_2$. Dann ist $\mathcal{B}_1 \cup\mathcal{B}_2$ ein Erzeugendensystem von $U_1+U_2$.