Berechnen Sie das Integral \int\limits_{C} \ve]c{F} *d \vec{r} über die Randkurve C der Fläche.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Vektorfeld \( \vec{F} \)(x,y,z)=3yê_x - xzê_y+yz²ê_z. Berechnen Sie das Integral \( \int\limits_{C} \) \( \vec{F} \)*d\( \vec{r} \) über die Randkurve C der Fläche.

S={(x,y,z) ∈ℝ³|x² +y² -2z = 0 und 0 ≤ z ≤ 2}

Problem/Ansatz:

Habe absolut keine Idee wie ich mit der Aufgabenstellung starten sollte.

Answer 1

Aloha :)

Den Rand \(C\) der Fläche \(S\) erhalten wir für \(z=2\). Dann ist \(x^2+y^2=4\), sodass der Rand durch folgenden Vektor \(\vec r\) abgetastet wird:$$\vec r=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Damit lautet das Wegintegral:

$$E=\int\limits_C\vec F\,d\vec r=\int\limits_0^{2\pi}\vec F(\vec r(\varphi))\,\frac{d\vec r(\varphi)}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}3y(\varphi)\\-x(\varphi)z(\varphi)\\y(\varphi)z^2(\varphi)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}3\cdot2\sin\varphi\\-2\cos\varphi\cdot2\\2\sin\varphi\cdot2^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\left(-12\sin^2\varphi-8\cos^2\varphi\right)d\varphi$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^{2\pi}\left(-8-4\sin^2\varphi\right)d\varphi=-16\pi-4\pi=-20\pi$$

Answer 2

Hallo

die Randkurve ist x^2+y^2=4, z=2

die ist leicht in Zylinderkoordinaten zu schreiben ,   dr=r'dt  und r(t) F einsetzen

Gruss lul