berechnen Sie das Wegintegral \int s \vec{F} · {d} \vec{s} entlang dieses Weges.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Vektorfeld $\vec{F}(\vec{x})=\left(\begin{array}{c}x z \\ y z^{2} \\ x y z\end{array}\right)$.

a) Parametrisieren Sie den direkten Weg $\overrightarrow{P Q}$ von Punkt $P(3,1,0)$ nach $Q(2,3,2)$ und
b) berechnen Sie das Wegintegral $\int \limits_{s} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{s}$ entlang dieses Weges.

Problem/Ansatz:

Was ist parametrisieren?

Answer 1

Aloha :)

Wenn du dich durch das Kraftfeld $\vec F(\vec r)=(xz;yz^2;xyz)^T$ bewegst, benötigst du dafür eine gewisse Menge Energie $E$. Diese hängt in der Regel vom Weg $C$ ab, den du durch dieses Kraftfeld wählst:$$E=\int\limits_C\vec F(\vec r)\,d\vec r$$

zu a) Wir sollen auf direktem Weg $\overrightarrow{PQ}$ von $P(3;1;0)$ nach $Q(2;3;2)$ durch das Kraftfeld laufen. Dazu benötigen wir einen Ortsvektor $vec r$, der diesen Weg beschreibt.$$\vec r=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2-3\\3-1\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-t\\1+2t\\2t\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;1]$$Das ist nichts anderes als die Gleichung für die Gerade durch die beiden Punkte $P$ und $Q$, allerdings durch den Parameter $t\in[0;1]$ so eingeschränkt, dass wir uns nur zwischen diesen beiden Punkten bewegen.

zu b) Da wir nun den Weg $\vec r(t)$ durch einen einzigen Parameter $t$ beschrieben haben, können wir in dem Integral von oben substitutieren:$$E=\int\limits_C\vec F(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_{t=0}^1\vec F(\vec r(t))\,\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt$$Im Einzelnen heißt das:$$\vec F(\vec r(t))=\begin{pmatrix}(3-t)\cdot2t\\(1+2t)\cdot(2t)^2\\(3-t)\cdot(1+2t)\cdot2t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6t-2t^2\\8t^3+4t^2\\-4t^3+10t^2+6t\end{pmatrix}\quad;\quad\frac{d\vec r(t)}{dt}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}$$Das Skalarprodukt der beiden ist der Integrand:$$E=\int\limits_{t=0}^1\left(8t^3+30t^2+6t\right)\,dt=\left[2t^4+10t^3+3t^2\right]_0^1=15$$

Answer 2

1. Parametrisierung des Weges: $\vec s(t)=\begin{pmatrix} 3-t \\ 1+2t\\2t \end{pmatrix};0\leq t\leq 1 \Rightarrow d\vec s(t)=\begin{pmatrix} -1 \\2\\2 \end{pmatrix}dt$

2. Parametrisierung des Vektorfeldes: $\vec F=\begin{pmatrix} xz \\ yz^2\\xyz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6t-t^2 \\ 4t^2+2t^3\\2t+2t^2-4t^3 \end{pmatrix}$

3. Berechnung des Integral: $\int_0^1 \begin{pmatrix} 6t-t^2 \\ 4t^2+2t^3\\2t+2t^2-4t^3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -1 \\2\\2 \end{pmatrix}dt$