Zeigen Sie, dass G/H zusammen mit der Verknüpfung eine Gruppe ist

Question

Aufgabe

Sei (G, ◦) eine Gruppe und H ⊆ G ein Normalteiler von G. Zeigen Sie, dass G/H zusammen mit der Verknüpfung

G/H×G/H→G/H, (g1H,g2H)→g1g2H

eine Gruppe ist.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen ?

Comments

Du musst einfach nur die 4/5 Eigenschaften einer Gruppe nachrechnen.

Warum ist G/H nicht leer?

Warum ist die Verknüpfung assoziativ? Das vererbt sich direkt von G.

Existiert ein neutrales Element? Wenn ja welches?

Existiert für jedes Element ein inverses Element? Wenn ja, gib es an.

Zusätzlich solltest du dir hier noch Gedanken über die Wohldefiniertheit machen.

Wenn \( g_1 H = h_1 H \) und \( g_2 H = h_2 H \), warum ist dann \( g_1H \ast g_2H = h_1 H \ast h_2 H\)?

Ich habe die Verknüpfung jetzt einfach mal \( \ast \) genannt.

Wenn du nur eine Lösung zum abschreiben suchst, kannst du auch einfach mal googeln. Solche Standardaufgaben findet man zuhauf im Internet.