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Aufgabe:

Entscheiden Sie jeweils, welche der Axiome (1), (2), (3) aus der Definition einer Gruppe erfüllt sind und welche nicht:


a) Die Menge ℤ zusammen mit der Vernüpfung x * y = x + 2y

b) Die Menge ℤ zusammen mit der Verknüpfung x  * y = x + y + 1


Axiome:

(1) für alle \( a , b , c \in G \text { gilt: } a * ( b * c ) = ( a * b ) * c \)

(2) es existiert ein \( e \in G \), so dass für alle \( a \in G \text { gilt: } a * e = e * a = a \)

(3) für alle \( a \in G \) existiert \( b \in G \), so dass \( a * b = b * a = e \) gilt.

von

1 Antwort

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Also das oben stimmt leider nicht ganz

zu a)  (1) ist nicht erfüllt, stimmt, das kann man mit beinahe beliebigen Zahlen nachprüfen.

(2) ist aber auch nicht erfüllt, da z.Bsp. 3*e=3+2e und e*3=e+6.

Gäbe es so ein e, dann ist 3+2e=e+6 also e=3.

Dieses e Funktioniert dann aber nicht mehr für zum beispiel a=2, da 2*3=2+6=8 und nicht =2.

Es muss aber ein e für alle Elemente in Z geben und nicht für jedes Element eines.

 

und zu (3), a*b=e heißt ja a+2b=e, das heißt a=e-2b. b*a=eheißt b+2a=e also a=(e-b)/2.

Also gilt: e-2b=(e-b)/2 ⇔2e-4b=e-b ⇔e=3b das heißt wenn a*b=b*a=e, dann ist e=3b und damit a=b.

Da das aber für alle a,b gelten soll und nicht nur für a=b ist das falsch.

 

zu b)  

(1) ist erfüllt, einfach nachrechnen.

(2) mit e=-1 ist das erfüllt

(3) gesucht ist zu a ein b so dass a*b=e=-1 also a+b+1=-1 ⇔a+b=-2⇔b=-2-a

das heißt es ist auch erfüllt, da zu a in Z auch immer -2-a in Z ist.
von
ich hab da mal eine kleine verständnisfrage:
undzwar frage ich mich, warum axiom 1 bei a nicht zutrifft?

ist, jetzt mal an einem konkreten beispiel:

(3 + 2*4) + 5 = 3 + (2*4 + 5)?

oder steh ich da komplett auf dem schlauch?
kannst du deine antworten vielelciht nochmal genauer erläutern?
ich habe da leider irgendwie noch meine probleme mit

das wäre sehr nett von dir
ich weiß nicht wie du hier (3 + 2*4) + 5 = 3 + (2*4 + 5) drauf kommst.

Ich unterscheide jetzt mal "•" ist das normale Malrechnen und "*" ist die neue Verknüpgung. Dann ist:

 

3*(4*5)=3+2•(4*5)=3+2•(4+2•5)=3+2•14=31

aber

(3*4)*5=(3*4)+2•5=(3+2•4)+2•5=3+8+10=21
Wenn du mir sagst was genau du näher eläutert haben möchtest dann mach ich das gerne.
3*(4*5)=3+2•(4*5)=3+2•(4+2•5)=3+2•14=31
                                                   ^ bei diesem schritt verwirrt mich z.B. die 2. wo kommt sie auf einmal her?

wie ich richtig verstehe ist doch 3*(4*5) die seite x * y, oder?
und 3+2•(4*5) die seite x + 2•y.

müsste dann dort nicht anstatt 3+2•(4*5),    3+(2•4*5) stehen?

tut mir leid, wenn ich mich etwas schwer tue

wie ich richtig verstehe ist doch 3*(4*5) die seite x * y, oder?
und 3+2•(4*5) die seite x + 2•y.

ja das ist richtig. x=3 und y=(4*5)

und danach macht man das ganze mit x=4 und y=5

aber besagt das axiom nicht für elemente a,b und c aus Z, dann sit das doch falsch, wenn y=(4*5), sodass auf der seite
x*y kein z exisitert oder?
Also ich verstehe wieder das Problem nicht,

a=3 b=4 c=5, die sind alle aus Z.

dann muss man die Verknüpfung * anwenden, zuerst die außerhalb der Klammer, dabei ist das eine Element 3 und das andere eben (4*5). Und im zweiten Schritt macht man das ganze nochmal für die Klammer 4*5.

Okay, mein problem war nur, dass du vorher kein c=5 definiert hast und ich mich die ganze zeit gefragt hab, wo du das hergenommen hast. Aber das ist ja dann geklärt.

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