Aufgabe zu dem euklidisches Skalarprodukt

Question

Aufgabe:

Seien a, b ∈ R^3 und <·, ·i> das euklidische Skalarprodukt auf R^3
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<a, a × b>= <b, a × b>= 0

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand hier nen Ansatz zum lösen geben? Mir würde es glaube ich schon helfen, wenn mir jemand in Worte sagen könnte was bewiesen werden soll

Answer 1

Aloha :)

Wir entwickeln die folgende Determinante nach der ersten Spalte:

$$\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}=a_1\begin{vmatrix}b_2 & c_2\\b_3 & c_3\end{vmatrix}-a_2\begin{vmatrix}b_1 & c_1\\b_3 & c_3\end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix}b_1 & c_1\\b_2 & c_2\end{vmatrix}$$$$\qquad=a_1(b_2c_3-b_3c_2)-a_2(b_1c_3-b_3c_1)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)$$$$\qquad=\vec a\cdot\begin{pmatrix}b_2c_3-b_3c_2\\b_3c_1-b_1c_3\\b_1c_2-b_2c_1\end{pmatrix}=\vec a\cdot\left(\vec b\times\vec c\right)$$

Das Spatprodukt \(\left<\vec a\;,\;\vec b\times\vec c\right>\) ist also gleich der Determinante der 3 Spaltenvektoren. Da eine Determinante null wird, wenn sie zwei gleiche Spalten hat, gilt:$$\left<\vec a\;,\;\vec a\times\vec b\right>=0=\left<\vec b\;,\;\vec a\times\vec b\right>$$

Answer 2

Nicht sicher, wo das i in der Vorschrift des Skalarprodukts vorkommt, aber da du vom euklidischen Skalarprodukt redest, gehört das wohl gar nicht dahin.

Du sollst für 3-dimensionale Vektoren a und b zuerst das Kreuzprodukt "ausrechnen", und das Kreuzprodukt dann als Vektor in das Skalarprodukt einsetzen. Dazu betrachtest du dir einfach die Vorschriften zum Ausrechnen und vergleichst dann die Werte die dabei rauskommen. Zur Erinnerung:

$$  \left(\begin{array}{c} a_1\\a_2 \\a_3 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} b_1\\b_2 \\b_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2\\a_3b_1 - a_1b_3 \\a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right) $$