Der Grenzwert von der ersten Folge ist verdaechdig einfach (→1 für n→∞). Meiner Meinung nach ist dies zu einfach und ich denke, dass die Frage von Lu mit dem fehlendem Exponenten berechtigt ist.
So zum zweiten habe ich dir folgendes geTeXt:
\( \left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) \)
\( =\prod \limits_{k=2}^{n}\left(\frac{k^{2}-1}{k^{2}}\right) \)
\( =\prod \limits_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}} \)
\( =\prod \limits_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} \prod \limits_{k=2}^{n} \frac{k+1}{k} \)
\( =\frac{\prod \limits_{k=2}^{n} \frac{k+1}{k}}{\prod \limits_{k=2}^{n} \frac{k}{k-1}} \)
So, dies Sind zwei "Teleskopprodukte" d.h. der Form
\( \prod \limits_{k=k_{0}}^{n} \frac{a_{k+1}}{a_{k}} \)
wobei oben \( a_k = k \) und unten \( a_k=k-1) \)
Der Wert( nicht der Grenzwert!!) von so einem Produkt ist einfach
\( \frac{a_{n+1}}{a_{k_{0}}} \)
Also hast du nun
\( \frac{\prod \limits_{k=2}^{n} \frac{k+1}{k}}{\prod \limits_{k=2}^{n} \frac{k}{k-1}}=\frac{\frac{n+1}{2}}{\frac{n-1}{1}} \rightarrow \frac{1}{2}(n \rightarrow \infty) \)
Ich hoffe, dass das dir hilft, der Beweis zum "Teleskopprodukt" findest du auf Wikipedia unter "Teleskopsumme"
